Calderón–Zygmund 理论

Calderón–Zygmund 理论是调和分析, Fourier 分析和奇异积分等相关领域中最重要的理论之一, 它给出了一类重要的奇异积分算子 (现称为 Calderón–Zygmund 算子) 的 $L^p$ 有界性.

该理论以 Alberto Calderón 和他的导师 Antoni Zygmund 命名, 建立起这一理论的作品为 [Calderón–Zygmund 1952].

本节主体几何设定为 $({\mathbb{R}}^d,d_2,\mathcal{L})$, 其中 $d_2$ 指 Euclid 距离, $\mathcal{L}$ 指 Lebesgue 测度. 大部分内容可类比推广到各向同性空间.

我们用 $\Delta$ 表示对角线 $\{(x,x)\in {\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^d:x\in {\mathbb{R}}^d\}$, 用 $\mathbb{K}$ 表示基域 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$.

1Calderón–Zgymund 核和 Calderón–Zygmund 算子

定义 1.1 (Calderón–Zgymund 核). 设 $\alpha$ 是 $(0,1)$ 中的一个数. 我们称一个连续函数 $f:{\Delta }^C\to \mathbb{K}$ 一个 $\mathbf{\alpha }$ 次 Calderón–Zgymund 核 (简称为 CZ 核) , 如果存在一个正数 $C$ 满足:

1.	对于任意 $(x,y)\in {\Delta }^C$ 都有$$|K(x,y)|\le \frac{C}{|x-y{|}^n}.$$
2.	对于任意 $x,x^{\prime },y\in {\mathbb{R}}^d$, 如果 $x$ 和 $y$ 不同, 而且它们满足 $|x-x^{\prime }|\le \frac{1}{2}|x-y|$, 则必然满足$$|K(x,y)-K(x^{\prime },y)|\le \frac{C}{|x-y{|}^n}{\left(\frac{|x-x^{\prime }|}{|x-y|}\right)}^{\alpha }.$$
3.	对于任意 $x,y,y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^d$, 如果 $x$ 和 $y$ 不同, 而且它们满足 $|y-y^{\prime }|\le \frac{1}{2}|x-y|$, 则必然满足$$|K(x,y)-K(x,y^{\prime })|\le \frac{C}{|x-y{|}^n}{\left(\frac{|y-y^{\prime }|}{|x-y|}\right)}^{\alpha }.$$

所有 $\alpha$ 次 Calderón–Zgymund 核构成的集合记为 ${\mathrm{CZK}}_{\alpha }$, 所装备的范数记作 $\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathrm{CZK}}_{\alpha }}$, 定义为

$\Vert f{\Vert }_{{\mathrm{CZK}}_{\alpha }}:=\inf \{C:C>0$ 使得定义 1.1 中三个条件都成立 $\}$.

定义 1.1 中所要求的系数 $\frac{1}{2}$ 可以更换为任何一个在 $(0,1)$ 中的实数, 距离也可以更换为 ${\mathbb{R}}^d$ 上的任何距离 (因为它们事实上是等价的) , 只不过 $C$ 的取值范围发生了变化.

注 1.2. 当 $\alpha =1$ 时, 条件 2 表明 $K(\cdot ,y)$ 在 ${\mathbb{R}}^d\setminus \{y\}$ 上是局部 Lipschitz 连续的, 因此 Rademacher 定理表明在 ${\Delta }^C$ 上 ${\nabla }_{x}K(x,y)$ 几乎处处存在, 而且满足估计$$|{\nabla }_{x}K(x,y)|\le \frac{C}{|x-y{|}^{n+1}}.$$同理有关于 ${\nabla }_{y}K(x,y)$ 的结论.

设 $T$ 是一个 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 上的有界算子. 我们称一个 Schwartz 核从属于 $T$, 如果任意一个紧支 $L^2$ 函数 $f$ 都满足$$Tf(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}K(x,y)f(y)dy$$在 $(\mathrm{supp}f{)}^C$ 上几乎处处成立, 即 $T$ 在 $(\mathrm{supp}f{)}^C$ 上的 Schwartz 核表示为 $K(x,y)$.

警告. 此处因为 Schwartz 核定理工作不完善, 我们无法直接引用, 因此可能出现一些定义上的问题.

定义 1.3 (Calderón–Zgymund 算子). 我们称为一个 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 上的有界算子 $T$ 是一个 $\mathbf{\alpha }$ 次的 Calderón–Zgymund 算子 (简称为 CZ 算子) , 如果存在一个 $\alpha$ 次的 Calderón–Zgymund 核 $K$ 从属于 $T$.

所有 $\alpha$ 次 Calderón–Zgymund 算子构成的集合记为 ${\mathrm{CZO}}_{\alpha }$, 所装备的范数记作 $\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathrm{CZO}}_{\alpha }}$, 定义为$$\Vert T{\Vert }_{{\mathrm{CZO}}_{\alpha }}:=\Vert T{\Vert }_{\mathcal{L}(L^2({\mathbb{R}}^d))}+\Vert K{\Vert }_{{\mathrm{CZK}}_{\alpha }}.$$

注 1.4. 我们一般是通过定义算子进而找 CZ 核表示, 而不是相反, 因为映射 $T\mapsto K$ 并不是单射. 例如考察映射 $T:L^2({\mathbb{R}}^d)\to L^2({\mathbb{R}}^d)$ 使得 $T(f)=mf$, 其中 $m\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^d)$. 显然, 对于 $\mathrm{supp}f$ 之外的点 $x$, 有 $Tf(x)=0$, 因此 $0$ 从属于 $T$. 但显然 $0$ 也从属于算子 $0$.

记 $K^{\ast }(x,y)=\overline{K(y,x)}$.

引理 1.5. 如果 $K\in {\mathrm{CZK}}_{\alpha }$, 那么 $K^{\ast }(x,y)$ 也是. 同理, 如果 $T\in {\mathrm{CZO}}_{\alpha }$, 那么它的共轭 $T^{\ast }$ 也是. 进一步, 如果 $K$ 从属于 $T$, 那么 $K^{\ast }$ 从属于 $T^{\ast }$.

证明. 自证不难, 或者等我有空填坑.

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例 1.6 (Hilbert 变换). Hilbert 变换: 来人! $$H(\phi )=p.v.\left(\frac{1}{\pi x}\right)\ast \phi .$$Hilbert 变换是一个 Calderón–Zygmund 算子.

例 1.7 (Riesz 变换). 考察 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 上的算子 $R_j$, 定义为$$R_{j}f(x)={\left(-i\frac{{\xi }_j}{|\xi |}\hat{f}(\xi )\right)}^{\vee }(x).$$我们称这一算子为 Riesz 变换, 它是一个 Calderón–Zygmund 算子.

例 1.8 (Cauchy 算子). 设 $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个 Lipschitz 连续映射. 作等同 $\mathbb{C}\simeq {\mathbb{R}}^2$, 记 $\Gamma =G(\phi )\subset \mathbb{C}$. 取 $N\subset {\mathbb{R}}^2$ 是 $\Gamma$ 的一个邻域, $f\in C_c^{\infty }(N)$ 固定. 对于 $z\notin \Gamma$, 写作 $z=t+i(\phi (t)+\alpha )$, 定义$$\mathcal{C}f(z(t))=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{s:|z(t)-z(s)|>ϵ}\frac{f(z(s))}{z(t)-z(s)}{z}^{\prime }(s)ds$$为 Cauchy 算子, 它也是一个 Calderón–Zygmund 算子, 但证明极不显然, 请参考 [Coifman–McIntosh–Meyer 1982] 或 [Coifman–Jones–Semmes 1989].

2Calderón–Zgymund 定理

Calderón–Zgymund 定理说明所有的 Calderón–Zgymund 算子有 $L^p$ 有界延拓.

定理 2.1 (Calderón–Zgymund 定理). 设 $T$ 是一个 Calderón–Zgymund 算子, 那么对于任意 $1<p<\infty$, 它诱导一个 $L^p({\mathbb{R}}^d)$ 上的有界算子作为它的延拓, 或者说 $T$ 是强 $(p,p)$ 型.

定理主体证明依赖 Calderón–Zgymund 分解, 这是 Frigyes Riesz 的 “日升引理” 的推广. 这一证明在原文中是一个引理, 因此又被广泛称为 Calderón–Zgymund 引理. 为表尊重, 我们仍使用引理.

引理 2.2 (Calderón–Zgymund 分解). 设 $f$ 是一个 $L^1({\mathbb{R}}^d)$ 函数, $\lambda$ 是一个正数. 那么, 存在一种分解方式$$f=g+b,$$其中 $g\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^d),b\in L^1({\mathbb{R}}^d)$. 进一步地, 我们可以找到一个只依赖 $d$ 的正数 $C_d$ 和可数个球 $\{B_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 满足:

1.	$\{B_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 有有界重叠性质, 特别地, 任意 $x\in {\mathbb{R}}^d$ 都满足$$\sum _{i=1}^{\infty }{\chi }_{B_i}(x)\le C_d.$$
2.	$$\sum _{i=1}^{\infty }\mathcal{L}(B_i)\le \frac{C(n)}{\lambda }\Vert f{\Vert }_1.$$

使得: $$\Vert g{\Vert }_{\infty }\le C_d\lambda ,$$而且 $b$ 可以写作 $b={\sum }_{i=1}^{\infty }{b}_i$ 并满足:

1.	存在 $B_i$ 使得 $\mathrm{supp}{b}_i\subset B_i$.
2.	$${\int }_{{\mathbb{R}}^d}{b}_i=0.$$
3.	$${\int }_{B_i}|b_i|\le C_d\mathcal{L}(B_i).$$

证明. 是一个艰难的证明, 但我已迫不及待开始摸鱼.

$\square$

3参考文献

•	Alberto Calderón, Antoni Zygmund. On the existence of certain singular integrals. Acta Mathematica, 88 (1952), 85–139. https://doi.org/10.1007/BF02392130.
•	Ronald Coifman, Alan McIntosh, Yves Meyer. L’intégrale de Cauchy définit un opérateur borné sur $L^2$ pour les courbes Lipschitziennes. Annals of Mathematics, 116 No.2 (1982), 361–387. https://doi.org/10.2307/2007065.
•	Ronald Coifman, Peter Jones, Stephen Semmes. Two elementary proofs of the $L^2$ boundedness of Cauchy integrals on Lipschitz curves. Journal of the American Mathematical Society, 2 No.3 (1989), 553–564. https://doi.org/10.2307/1990943.

术语翻译

各向同性空间 • 英文 space of homogeneous type

有界重叠性质 • 英文 bounded overlapping property

日升引理 • 英文 rising sun lemma