Lebesgue 测度

Lebesgue 测度是定义在欧几里得空间上的测度, 用于测量其中特定集合的几何大小.

1定义

定义 1.1 (体积函数). 给定一个左半闭区间 $[a,b)\subseteq {\mathbb{R}}^d$, 其中 $d\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 以及 $a=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i,\dots {\alpha }_d)$, $b=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_i,\dots ,{\beta }_d)$, ${\alpha }_i\le {\beta }_i$. 我们定义体积函数 $\lambda$ 为$$\lambda [a,b)=\prod _{i=1}^d({\beta }_i-{\alpha }_i)$$所得出的值称为该左半闭区间的体积. 值得注意的是, 空集 $\varnothing$ 也被看作一个左半闭区间 (当 $a=b$ 时) , 并且其体积为 $0$.

注 1.2. 有些作者可能采用开区间 $(a,b)$ 或闭区间 $[a,b]$ 来定义体积函数, 这在方法上是可行的, 甚至也许会更便于理解, 但 $[a,b)$ 具有更好的代数性质, 事实上, 所有左半闭区间的集类在代数结构上组成了一个半环.

定义 1.3 (Lebesgue 外测度). 对于任意集合 $A\subseteq {\mathbb{R}}^d$, 我们定义 Lebesgue 外测度 $\theta :\mathcal{P}({\mathbb{R}}^d)\to [0,\infty )$ 为$$\theta (A)=\inf \left\{\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (I_n)|\text{⟨In⟩n∈N 是一个左半闭区间序列 ∧ A⊆n∈N⋃In}\right\}$$Lebesgue 外测度事实上符合一般的抽象外测度定义, 亦即具有非负性、单调性和次可加性.

定义 1.4 (Lebesgue 测度). 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上定义以下集类$$\Sigma =\left\{E\in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^d)\mid \forall A\in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^d)(\theta (A)=\theta (A\cap E)+\theta (A\setminus E))\right\}$$其中的集合被称为可测集. 可以验证 $\Sigma$ 是一个 $\sigma$-代数, 因而 $({\mathbb{R}}^d,\Sigma )$ 是一个可测空间. 进而令 $\mu =\theta {|}_{\Sigma }$, 可以验证 $\mu$ 是一个定义在 $\Sigma$ 上的测度, 从而 $({\mathbb{R}}^d,\Sigma ,\mu )$ 是一个测度空间, 其中 $\mu$ 即是 Lebesgue 测度.

2相关概念