Cartier 算子

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• 固定素数 $p$, 所有环和概形都在 ${\mathbb{F}}_p$ 上.

Cartier 算子是从特征 $p$ 概形之 Frobenius 扭转的 de Rham 复形到其本身的代数 de Rham 上同调的同态. 它在概形光滑时是同构, 给出特征 $p$ 光滑概形的代数 de Rham 上同调的简单描述.

1定义

命题 1.1. $R\to A$ 是环同态. 记 $A^{(p)}=A{\otimes }_{R,F_R}R$, 即 $A$ 沿 $R$ 的 Frobenius 同态基变换, 并考虑 $R$-代数同态 $F_{A/R}:A^{(p)}\to A$, 定义为 $F_{A/R}(a\otimes 1)=a^p$, 即相对 Frobenius. 则有 $A$ 在 $R$ 上的 de Rham 复形 ${\Omega }_{A/R}^{\bullet }$ 的微分沿 $F_{A/R}$ 为 $A^{(p)}$-线性, 且存在唯一 $A^{(p)}$-分次代数同态$$\mathrm{Cart}:{\Omega }_{A^{(p)}/R}^{\bullet }\to H^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }),$$满足 $\mathrm{Cart}(a\otimes 1)=[a^p]$, $\mathrm{Cart}(\mathrm{d}(a\otimes 1))=[a^{p-1}\mathrm{d}a]$. 不严格地说, $\mathrm{Cart}$ 的 $i$ 次部分等于 $F_{A/R}$ 在 $i$ 阶微分模诱导的映射除以 $p^i$.

证明. 由 $F_{A/R}$ 的定义以及 $\mathrm{d}(a^p)=p{a}^{p-1}\mathrm{d}a=0$ 便知复形 ${\Omega }_{A/R}^{\bullet }$ 为 $A^{(p)}$-线性, 且 $F_{A/R}(A^{(p)})\subseteq H^0({\Omega }_{A/R}^{\bullet })$, 这样便确定了 $0$ 次部分. 由于 $i$ 阶微分模是微分模的 $i$ 次外积, 只需验证 $1$ 次部分良定义且唯一. 依定义 $A^{(p)}$ 作为 $R$-代数由形如 $a\otimes 1$ 的元素生成, 所以 ${\Omega }_{A^{(p)}/R}$ 作为 $A^{(p)}$-模由形如 $\mathrm{d}(a\otimes 1)$ 的元素生成, 故有唯一性. 为验证良定义性, 由微分模的万有性质, 只需验证 $A^{(p)}$ 到 $A^{(p)}$-模 $H^1({\Omega }_{A/R}^{\bullet })$ 的映射 $a\otimes 1\mapsto [a^{p-1}\mathrm{d}a]$ 是 $R$-导子. 为此又只需验证 $A$ 到 $H^1({\Omega }_{A/R}^{\bullet })$ 的映射 $a\mapsto [a^{p-1}\mathrm{d}a]$ 是沿 $F_R$ 线性的导子, 其中 $H^1({\Omega }_{A/R}^{\bullet })$ 以 $F_A$ 视为 $A$-模. 这样就简单了, 我们逐条公理验证.

加性	$$a+b\mapsto [(a+b{)}^{p-1}\mathrm{d}(a+b)]=\left[\mathrm{d}\left(\frac{(a+b{)}^p-a^p-b^p}{p}\right)+a^{p-1}\mathrm{d}a+b^{p-1}\mathrm{d}b\right]=[a^{p-1}\mathrm{d}a]+[b^{p-1}\mathrm{d}b].$$
Leibniz 法则	$$ab\mapsto [(ab{)}^{p-1}\mathrm{d}(ab)]=a^p[b^{p-1}\mathrm{d}b]+b^p[a^{p-1}\mathrm{d}a]=F_A(a)[b^{p-1}\mathrm{d}b]+F_A(b)[a^{p-1}\mathrm{d}a].$$
沿 $F_R$ 线性	$$ra\mapsto [(ra{)}^{p-1}\mathrm{d}(ra)]=r^p[a^{p-1}\mathrm{d}a]=F_R(r)[a^{p-1}\mathrm{d}a].$$

$\square$

定义 1.2. 环同态 $R\to A$ 的 Cartier 算子指的是命题 1.1 中的分次代数同态 $\mathrm{Cart}$, 也记作 ${\mathrm{Cart}}_{A/R}$. 由唯一性不难发现它和 $R$ 与 $A$ 的局部化都交换. 于是对概形态射 $X\to S$, 同样考虑 $X^{(p)}=X{\times }_{S,F_S}S$, $F_{X/S}:X\to X^{(p)}$, 则各个仿射开集的 Cartier 算子可以粘成 ${\mathcal{O}}_{X^{(p)}}$-分次代数同态$${\mathrm{Cart}}_{X/S}:{\Omega }_{X^{(p)}/S}^{\bullet }\to H^{\bullet }((F_{X/S}{)}_{\ast }{\Omega }_{X/S}^{\bullet }),$$称为 $X\to S$ 的 Cartier 算子.

注 1.3. 由于历史原因, Cartier 算子也常记作 $C^{-1}$.

2性质

先是一些自然性.

命题 2.1. $R\to A$, $R\to R^{\prime }$ 是环同态, 记 $A^{\prime }=A{\otimes }_R{R}^{\prime }$, 则 $A^{\prime (p)}=A^{\prime }{\otimes }_{R^{\prime },F_{R^{\prime }}}{R}^{\prime }=A{\otimes }_R{R}^{\prime }{\otimes }_{R^{\prime },F_{R^{\prime }}}{R}^{\prime }=A{\otimes }_{R,F_R}R{\otimes }_R{R}^{\prime }=A^{(p)}{\otimes }_R{R}^{\prime }$. 此时有交换图表$${\Omega }_{A^{(p)}/R}^{\bullet }{\otimes }_R{R}^{\prime }{H}^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }){\otimes }_R{R}^{\prime }{H}^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }{\otimes }_R{R}^{\prime }){\Omega }_{A^{\prime (p)}/R^{\prime }}^{\bullet }{H}^{\bullet }({\Omega }_{A^{\prime }/R^{\prime }}^{\bullet }){\mathrm{Cart}}_{A/R}{\otimes }_R{R}^{\prime }{\mathrm{Cart}}_{A^{\prime }/R^{\prime }}$$

证明. 由于映射都是 $A^{\prime (p)}$-分次代数同态, 而高阶微分模是一阶微分模的外积, 故只需对左上角一次部分的一组生成元验证. 显然两条路都把 $\mathrm{d}(a\otimes 1)\otimes 1$ 映射到 $[(a\otimes 1{)}^{p-1}\mathrm{d}(a\otimes 1)]$.

$\square$

命题 2.2. $R\to A$, $R\to B$ 是环同态, 记 $C=A{\otimes }_{R}B$, 则 $C^{(p)}=A{\otimes }_{R}B{\otimes }_{R,F_R}R=(A{\otimes }_{R,F_R}R){\otimes }_R(B{\otimes }_{R,F_R}R)=A^{(p)}{\otimes }_R{B}^{(p)}$. 此时有交换图表$$\mathrm{Tot}({\Omega }_{A^{(p)}/R}^{\bullet }{\otimes }_R{\Omega }_{B^{(p)}/R}^{\bullet })\mathrm{Tot}(H^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }){\otimes }_R{H}^{\bullet }({\Omega }_{B/R}^{\bullet }))H^{\bullet }(\mathrm{Tot}({\Omega }_{A/R}^{\bullet }{\otimes }_R{\Omega }_{B/R}^{\bullet })){\Omega }_{C^{(p)}/R}^{\bullet }{H}^{\bullet }({\Omega }_{C/R}^{\bullet })\mathrm{Tot}({\mathrm{Cart}}_{A/R}{\otimes }_R{\mathrm{Cart}}_{B/R})\wedge \wedge {\mathrm{Cart}}_{C/R}$$

证明. 由于映射都是 $C^{(p)}$-分次代数同态, 而高阶微分模是一阶微分模的外积, 故只需对左上角一次部分的一组生成元验证. 显然两条路都把 $\mathrm{d}(a\otimes 1)\otimes 1$ 映射到 $[(a\otimes 1{)}^{p-1}\mathrm{d}(a\otimes 1)]$, 把 $1\otimes \mathrm{d}(b\otimes 1)$ 映射到 $[(1\otimes b{)}^{p-1}\mathrm{d}(1\otimes b)]$.

$\square$

命题 2.3. $R\to A\to B$ 是环同态. 分别沿 $F_{A/R}$, $F_{B/R}$ 把 $A^{(p)}$, $B^{(p)}$ 视为 $A$, $B$ 上代数, 则有自然同态 $A^{(p)}{\otimes }_{A}B\to B^{(p)}$. 此时有交换图表$${\Omega }_{A^{(p)}/R}^{\bullet }{\otimes }_{A}B{H}^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }){\otimes }_{A}B{\Omega }_{A^{(p)}/R}^{\bullet }{\otimes }_{A^{(p)}}{B}^{(p)}{H}^{\bullet }({\Omega }_{A/R}^{\bullet }{\otimes }_{A}B){\Omega }_{B^{(p)}/R}^{\bullet }{H}^{\bullet }({\Omega }_{B/R}^{\bullet }){\mathrm{Cart}}_{A/R}{\otimes }_{A}B{\mathrm{Cart}}_{B/R}$$

证明. 由于映射都是 $A^{(p)}{\otimes }_{A}B$ 上分次代数同态, 而高阶微分模是一阶微分模的外积, 故只需对左上角一次部分的一组生成元验证. 显然两条路都把 $\mathrm{d}(a\otimes 1)\otimes 1$ 映射到 $[a^{p-1}\mathrm{d}a]$.

$\square$

最重要的性质是如下 Cartier 同构.

定理 2.4. 如环同态 $R\to A$ 光滑, 则 ${\mathrm{Cart}}_{A/R}$ 是同构.

证明. 先验证 $A=R[x]$ 为一元多项式环情形. 此时 ${\Omega }_{A/R}^{\bullet }$ 为$$0\to R[x]\to R[x]\mathrm{d}x\to 0$$由于 $\mathrm{d}(x^n)=n{x}^{n-1}\mathrm{d}x$, 容易发现该复形的上同调在 $0$ 处为 $R[x^p]$, 在 $1$ 处为 $R[x^p]x^{p-1}\mathrm{d}x$, 由 Cartier 算子的定义立知它是同构. 这样由命题 2.2 即得 $A$ 为多元多项式环情形. 现对一般的 $A$, 适当局部化, 可设有平展同态 $R[x_1,\dots ,x_n]\to A$. 对 $R\to R[x_1,\dots ,x_n]\to A$ 用命题 2.3, 由平展其中竖直箭头全都是同构, 即可从多项式环情形得到一般情形.

$\square$

注 2.5. 本节中这些对环陈述的命题显然对概形也都成立, 为简明起见就不逐一对概形再写一遍了.

3例子

(可以写它和曲线情形老定义的关系.)

4推广

(导出推广.)

5相关概念

•	Frobenius 同态
•	代数 de Rham 上同调
•	de Rham–Witt 复形

术语翻译

Cartier 算子 • 英文 Cartier operator • 德文 Cartier-Operator • 法文 opérateur de Cartier