代数 de Rham 上同调

代数 de Rham 上同调是 de Rham 上同调在代数几何中的对应物. 它在概形光滑时表现良好, 在基域特征 $0$ 时是 Weil 上同调理论, 在复数域上还通过代数几何–解析几何对应直接对应于微分几何的 de Rham 上同调.

1定义

定义 1.1 (代数 de Rham 复形). 概形态射 $f:X\to S$ 的代数 de Rham 复形, 也称 $X$ 在 $S$ 上的 de Rham 复形, 记作 ${\Omega }_{X/S}^{\bullet }$, 指的是 $X$ 上的 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-复形$$0\to {\mathcal{O}}_X\to {\Omega }_{X/S}\to {\Omega }_{X/S}^2\to \cdots$$其中 ${\Omega }_{X/S}^i$ 是 $i$ 阶 Kähler 微分, 映射都是外微分. 换言之, 代数 de Rham 复形是映射 $\mathrm{d}:{\mathcal{O}}_X\to {\Omega }_{X/S}$ 的 Koszul 复形.

定义 1.2 (代数 de Rham 上同调). 概形态射 $f:X\to S$ 的代数 de Rham 上同调, 也称 $X$ 在 $S$ 上的 de Rham 上同调, 记作 $R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/S)$ 与 $H_{\text{dR}}^i(X/S)$, 指的是复形 ${\Omega }_{X/S}^{\bullet }$ 的导出前推 $R{f}_{\ast }({\Omega }_{X/S}^{\bullet })\in \mathsf{D}({\mathcal{O}}_S)$ 及其各阶上同调 $R^i{f}_{\ast }({\Omega }_{X/S}^{\bullet })\in \mathsf{Mod}({\mathcal{O}}_S)$.

下面将会看到, 只要 $f$ 满足非常松的有限性条件即拟紧拟分离, 就有 $R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/S)\in {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}({\mathcal{O}}_S)$.

注 1.3. 有些地方用 $R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/S)$ 指 $R\Gamma (X,{\Omega }_{X/S}^{\bullet })$, 与这里的定义大相径庭. 不过在 $S$ 仿射且 $f$ 拟紧拟分离时它俩一致.

2性质

命题 2.1 (Hodge 到 de Rham 谱序列). 对 $f:X\to S$, 有谱序列收敛$$E_1^{p,q}=R^q{f}_{\ast }{\Omega }_{X/S}^p\Rightarrow H_{\text{dR}}^{p+q}(X/S).$$

命题 2.2 (共轭谱序列). 对 $f:X\to S$, 有谱序列收敛$$E_2^{p,q}=R^p{f}_{\ast }{H}^q({\Omega }_{X/S}^{\bullet })\Rightarrow H_{\text{dR}}^{p+q}(X/S).$$

命题 2.3 (拟凝聚性). 如 $f:X\to S$ 拟紧拟分离, 则 $R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/S)\in {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}({\mathcal{O}}_S)$.

命题 2.4 (凝聚性). 如 $f:X\to S$ 紧合, $S$ Noether, 则 $R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/S)\in {\mathsf{D}}_{\mathsf{Coh}}^b({\mathcal{O}}_S)$.

命题 2.5 (万有性质). 环同态 $R\to A$ 的 de Rham 复形是 $0$ 次项为 $A$ 的 $R$-微分分次代数中初始者. 概形态射 $f:X\to S$ 的 de Rham 复形是 $0$ 次项为 ${\mathcal{O}}_X$ 的 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-微分分次代数层中初始者.

下面的定理描述了代数 de Rham 上同调在不同基域的行为. 证明见相应主条目.

定理 2.6 (代数几何–解析几何对应). 设 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上光滑概形. 以 $X^{\text{an}}$ 记其对应的复解析流形, $\nu :X^{\text{an}}\to X$ 记自然的连续映射. 则 $\mathsf{D}({\mathcal{O}}_X)$ 中有自然同构$${\Omega }_{X/\mathbb{C}}^{\bullet }=R{\nu }_{\ast }{\Omega }_{X^{\text{an}}}^{\bullet },$$其中 ${\Omega }_{X^{\text{an}}}^{\bullet }$ 指全纯微分形式复形. 特别地, 两边取整体截面, 由 Dolbeault 消解有$$R{\Gamma }_{\text{dR}}(X/\mathbb{C})=R{\Gamma }_{\text{dR}}(X^{\text{an}},\mathbb{C}).$$

定理 2.7 (Cartier 同构). 设 $f:X\to S$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-概形的光滑态射. 考虑相对 Frobenius $F_{X/S}:X\to X^{(p)}$ 定义为$$X{X}^{(p)}XSS{F}_{X}f{F}_{X/S}f{F}_S$$其中 $X^{(p)}$ 为拉回, $F_S$ 和 $F_X$ 分别为 $S$ 和 $X$ 的 Frobenius 态射. 则 ${\Omega }_{X/S}^{\bullet }\in \mathsf{D}(F_{X/S}^{-1}{\mathcal{O}}_{X^{(p)}})$, 且对 $i\in \mathbb{N}$ 有保持外积的自然同构$$H^i({\Omega }_{X/S}^{\bullet })=F_{X/S}^{-1}{\Omega }_{X^{(p)}/S}^i,$$这里右边到左边的映射是形式地除以 $p^i$.

3例子

例 3.1 (仿射直线). 环同态 $R\to R[x]$ 的微分模为 ${\Omega }_{R[x]/R}=R[x]\mathrm{d}x$, 秩一自由, 故其 de Rham 复形为$$0\to R[x]\to R[x]\mathrm{d}x\to 0$$$R$ 为 $\mathbb{Q}$-代数时, 微分是满射, 其上同调在 $0$ 处是 $R$, $1$ 处是 $0$, 与复仿射直线的直观相符. $R$ 为 ${\mathbb{F}}_p$-代数时, 其上同调在 $0$ 处是 $R[x^p]$, $1$ 处是 $R[x^p]\frac{\mathrm{d}(x^p)}{p}$, 此处 $\frac{\mathrm{d}(x^p)}{p}$ 形式地表示 $x^{p-1}\mathrm{d}x$.

4推广

和 Kähler 微分一样, 代数 de Rham 上同调在不光滑情形表现欠佳, 此时正确的对象是导出 de Rham 上同调.

和平展上同调一样, 代数 de Rham 上同调也有带系数的版本, 为此需要引入 Grothendieck 联络的概念.

5相关概念

•	de Rham 上同调
•	Kähler 微分
•	Hodge 理论
•	Hodge 上同调
•	Gauss–Manin 联络
•	Cartier 同构
•	de Rham–Witt 复形
•	晶体上同调
•	导出 de Rham 上同调
•	$q$-de Rham 上同调

术语翻译

代数 de Rham 上同调 • 英文 algebraic de Rham cohomology • 德文 algebraische De-Rham-Kohomologie • 法文 cohomologie algébrique de de Rham