Feynman 规则

Feynman 规则为每个 Feynman 图赋予一个数. 从而对所有满足条件的 Feynman 图相应的数求和可以得到多点函数或 $S$ 矩阵的项的值.

1陈述

设 $M$, $N$ 是两个集合, 代表可能出现的粒子, $M$ 中元素代表反粒子是其自身的粒子, 对应的场记为 ${\varphi }_m$, $N$ 中元素代表反粒子不是其自身的粒子, 对应的场记为 ${\psi }_n$, ${\bar{\psi }}_n$. 记相应理论的作用量密度为$$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{自由}+\sum \frac{g_{m_1\cdots n_l}}{a_1!\cdots a_k!(b_1!{)}^2\cdots (b_l!{)}^2}{\varphi }_{m_1}^{a_1}\cdots {\varphi }_{m_k}^{a_k}{\psi }_{n_1}^{b_1}{\bar{\psi }}_{n_1}^{b_1}\cdots {\psi }_{n_l}^{b_l}{\bar{\psi }}_{n_l}^{b_l}$$其中 ${\mathcal{L}}_{自由}$ 是所有粒子的自由场的作用量密度之和. 剩下的项代表相互作用, $g$ 即相应的耦合常数. 则 Feynman 规则为

对多点函数:

定理 1.1. 一个 Feynman 图 $(G,V_0,f,o)$ 对应的值按照如下步骤得出:

•	对图的每一条边赋予一个时空向量 (即动量) $p\in {\mathbb{R}}^{n+1}$, 并为图随意赋予一个定向 (未必与 $o$ 相容).
•	对每一条边, 写下相应的粒子的 Feynman 传播子在动量 $p$ 处的取值.
•	对每个内顶点, 写下 $-\mathrm{i}g(2\pi {)}^{n+1}\delta (\sum p-\sum p^{\prime })$, 其中 $g$ 为相应相互作用的耦合常数, $\sum p-\sum p^{\prime }$ 代表 (在第一步中赋予的) 进入和出去的动量之差, $\delta$ 为 $\delta$ 函数.
•	对每个外顶点, 写下 ${\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}p\cdot x}$, 其中 $x$ 为多点函数中每一点的坐标, $\pm p$ 为第一步中赋予的动量 (进入为 $+$, 出去为 $-$ 或相反).
•	取上述写下的所有量的乘积, 并对每个赋予的动量 $p$ 作积分 $\int \frac{dp}{(2\pi {)}^{n+1}}$.
•	把结果除以 Feynman 图的自同构群的阶数.
•	如果一些场是 Fermi 场, 乘以 $-1$ 的若干次方.

对 $S$ 矩阵的项:

定理 1.2. 一个有向 Feynman 图 (给定每一条外线相应的粒子的动量 $p$ 和自旋 $\sigma$) 对应的值由如下规则得出: (...)

注 1.3. 实际上 $\varphi$, $\psi$ 未必是标量场, 因此会有分量, 相互作用项中也可能涉及到相应的场的导数, 但为了简洁起见我们在这里只把结论大致写出来, 而遇到具体情况时再写得更严格些.

2证明

(...)

3例子

考虑量子电动力学, 相应的作用量密度为 (时空为四维)$$\mathcal{L}=\bar{\psi }(\mathrm{i}\partial -m)\psi -\frac{1}{4}({\partial }_{\nu }{A}_{\mu }-{\partial }_{\mu }{A}_{\nu }{)}^2-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$$

其中 $A_{\mu }$ 为光子场, $\psi$ 是电子场, $e$ 是常数, 即元电荷. 则相应物理量为:

•	自由电子传播子$$D_F(x-y)=⟨\psi (x)\bar{\psi }(x)⟩=\int \frac{dp}{(2\pi {)}^4}\frac{\mathrm{i}(p+m)}{p^2-m^2+\mathrm{i}ϵ}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(x-y)}$$写成动量形式, 则有$$D_F(p)=\frac{\mathrm{i}(p+m)}{p^2-m^2+\mathrm{i}ϵ}$$
•	自由光子传播子$$D_F^{\mu \nu }(x-y)=⟨A^{\mu }(x)A^{\nu }(y)⟩=\int \frac{dk}{(2\pi {)}^4}\frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}ϵ}\left(g^{\mu \nu }(1-\xi )\frac{k^{\mu }{k}^{\nu }}{k^2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(x-y)}$$写成动量形式, 则有$$D_F^{\mu \nu }(k)=\frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}ϵ}\left(g^{\mu \nu }(1-\xi )\frac{k^{\mu }{k}^{\nu }}{k^2}\right)$$
•	(...)

4相关概念

•	Feynman 图
•	多点函数
•	$S$ 矩阵
•	交叉对称性

术语翻译

Feynman 规则 • 英文 Feynman rules • 德文 Feynman-Regeln • 法文 règles de Feynman