Feynman 图

Feynman 图是量子场论中的概念, 它用图来表示 $S$ 矩阵以及多点函数的展开式时出现的项, 这些图可以通过 Feynman 规则还原出原来的项.

具体地说, Feynman 图可以想象为粒子相互作用的直观表述, 它是有向图, 每条边表示一种特定的粒子, 而每个顶点则表示粒子之间的相互作用. $S$ 矩阵以及多点函数的展开式的每一项可以视为一种假想的物理过程, 把所有可能的过程加起来就会得到这些函数的值.

例如, 在量子电动力学中, 如下的图就是一张 Feynman 图.其中实线代表电子, 虚线代表光子, 时间演化方向为从左到右. 与时间演化方向相同的线表示正电子, 相反的线表示负电子. 此图的物理意义为: 一开始有一个正电子和一个负电子, 它们先变成一个光子, 之后这个光子变成了一个正电子和一个负电子而结束. 它表示两个正电子和两个负电子的多点函数或 $S$ 矩阵中的项.

1定义

定义 1.1. 首先给出基本数据:

•	设 $M$, $N$ 是两个集合, 代表可能出现的粒子种类, $M$ 中元素代表的粒子和反粒子相同, $N$ 中的不同.
•	$S$ 为集合, 其中元素形如无序组 $(x_1,\dots ,x_n)$, 其中 $n$ 为任意正整数, $x_1,\dots ,x_n\in M\cup (N\times \{\pm 1\})$, 表示所有可能的相互作用. 且 $S$ 在 $N\times \{\pm 1\}$ 的 “共轭” (即 $(n,a)\to (n,-a)$) 下封闭.

例如量子电动力学中, $M=\{\gamma \}$ 为光子, $N\times \{\pm 1\}=\{e^{+},e^{-}\}$ 为正负电子. 集合 $S=\{(\gamma ,e^{+},e^{-})\}$ 为唯一可能的相互作用.

定义 1.2 (Feynman 图). Feynman 图是四元组 $(G,V_0,f,o)$, 其中

•	$G$ 是图, 顶点集记作 $V$, 边集记作 $E$.
•	$V_0$ 是 $V$ 的子集, 其中元素称为外源, 表示初始和结束时的粒子. 和外源相连的边称为外线, 否则称为内线, $V-V_0$ 中元素称为顶角, 表示相互作用.
•	映射 $f:E\to M\cup N$ 是边的染色, 一种颜色的边代表了一种粒子的 “传播”.
•	$o$ 为 $f^{-1}(N)$ 中的所有元素指定了定向. 它大致表示正反粒子.

满足条件:

•	所有外源的度均为 $1$.
•	对任意顶角 $v$, 它连的所有边通过映射 $f$ (指定是哪种粒子) 和定向 $o$ (“进入” $v$ 的有向边对应 $+1$, 从 $v$ “出去” 的对应 $-1$) 对应的无序组在 $S$ 中.

在$S$ 矩阵的计算中会用到下面 “有向” Feynman 图的概念. 这种 Feynman 图指定了时间箭头, 即它指定了 “开始” 和 “结束” 时所有的粒子.

定义 1.3. 有向 Feynman 图是五元组 $(G,V_0,f,o,o^{\prime })$, 其中 $(G,V_0,f,o)$ 是 Feynman 图, $o^{\prime }$ 为此图的每一条外线赋予定向, 它未必与 $o$ 相容.

还有如下 “连通” Feynman 图的概念.

定义 1.4. 连通 Feynman 图指的是任意边均处在某个外源所在的连通分支里的 Feynman 图.

2物理意义

Feynman 图可以解读为一个假想的粒子传播与相互作用的过程. 解读方法大致如下:

对有向 Feynman 图 $(G,V_0,f,o,o^{\prime })$ (如无向, 为它赋予一个定向),

•	图的每一条边代表一个粒子的传播, 染色和定向明确了是何种粒子: 定向 $o$ 与 $o^{\prime }$ 一致的边代表粒子的传播, 否则代表反粒子的传播.
•	在定向 $o^{\prime }$ 下, 从外源出发的外线表示 “开始” 时的所有粒子, 进入外源的外线表示 “结束” 后的所有粒子.
•	每个顶角代表粒子之间的 “一次相互作用”, 延拓定向 $o^{\prime }$ 至整个图, 在定向 $o^{\prime }$ 下进入此顶角的边代表这次相互作用中 “开始” 时的粒子, 在定向 $o^{\prime }$ 下从此顶角出发的边代表这次相互作用中 “结束” 后的粒子.

特别地, 如果一个 Feynman 图没有外源, 则 “开始” 和 “结束” 时都没有粒子, 则它代表了真空的起伏. 连通的 Feynman 图即是那些排除了真空起伏, 而代表粒子间的相互作用的图.

注意这些物理直观仅仅是便于理解, 并不能说就是真的发生了这些过程, 真正的过程人们不知道, 并且也没有太大意义.

下面以例子说明之.

3例子

考虑量子电动力学, 此时 $M=\{\gamma \}$ 为光子, $N\times \{\pm 1\}=\{e^{+},e^{-}\}$ 为正负电子. 集合 $S=\{(\gamma ,e^{+},e^{-})\}$ 为唯一可能的相互作用.

引言中的图就是一张 Feynman 图, 它表示从一个正电子和一个负电子变为一个正电子和一个负电子的过程. 下面的图也同样表示一开始有一个正电子和一个负电子, 结束后也是一个正电子和一个负电子的过程.

(染色和定向的约定同上, 除了中间的光子线从上到下) 两个 Feynman 图并不同构, 这个图描述了另一个物理过程: 一开始有一个正电子和一个负电子, 负电子发射出一个光子, 而这个光子被正电子吸收. 这样结束后还是一个正电子和一个负电子.

4性质

多点函数和 $S$ 矩阵可以通过 Feynman 图和 Feynman 规则计算. 具体地说有如下两个命题:

命题 4.1. 给定粒子种类 $M$, $N$ 和所有可能的相互作用 $S$, 记 $\varphi$, $\psi$ 为相应的场, 则多点函数$$⟨{\varphi }_{m_1}(x_1)\cdots {\varphi }_{m_k}(x_k){\psi }_{n_1}(y_1){\bar{\psi }}_{n_1}(y_1^{\prime })\cdots {\psi }_{n_l}(y_l){\bar{\psi }}_{n_l}(y_l^{\prime })⟩$$之值为所有外线染色为 $m_1,\cdots ,m_k,n_1,n_1,\cdots ,n_k,n_k$ 的连通 Feynman 图的同构类在 Feynman 规则下相应值之和.

命题 4.2. 给定粒子种类 $M$, $N$ 和所有可能的相互作用 $S$, 则给定初态与末态的粒子种类后, 相应的 $S$ 矩阵的项为所有满足相应物理意义 (见物理意义一节) 的连通有向 Feynman 图在 Feynman 规则下相应值之和.

5相关概念

•	Feynman 规则
•	多点函数
•	$S$ 矩阵
•	交叉对称性
•	表观发散度

术语翻译

Feynman 图 • 英文 Feynman diagram • 德文 Feynman-Diagramm • 法文 diagramme de Feynman