Fubini 定理

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Fubini 定理主要阐述的是乘积测度空间中二重积分与累次积分的关系

1定理

定理 1.1. 对于 $\sigma$-有限的测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu ),(Y,\mathcal{B},\nu )$, 若 $f:X\times Y\to [-\infty ,+\infty ]$ 且 $f$ 是 $\mu \times \nu$-可积的, 那么$${\int }_{X\times Y}f\mathrm{d}(\mu \times \nu )={\int }_X\left({\int }_Y{f}_x\mathrm{d}\nu \right)\mathrm{d}\mu ={\int }_Y\left({\int }_X{f}^y\mathrm{d}\mu \right)\mathrm{d}\nu$$进一步地, 对于测度 $\mu ,\nu ,\mu \times \nu$ 的完备 $\overline{\mu },\overline{\nu },\overline{\mu \times \nu }$, 有$$\int f\mathrm{d}(\overline{\mu \times \nu })=\iint f(x,y)\overline{\nu }(\mathrm{d}y)\overline{\mu }(\mathrm{d}x)=\iint f(x,y)\overline{\mu }(\mathrm{d}x)\overline{\nu }(\mathrm{d}y)$$

其中 $f_x=\{y\in Y:f(x)=y\},f^y=\{x\in X:f(x)=y\}$