乘积测度

在测度论中, 乘积测度指的是在两个测度空间 $(X, A, μ)$ 和 $(Y, B, ν)$ 的积集 $X \times Y$ 上的测度空间结构 $(X \times Y, A \otimes B, μ \times ν)$ , 使两个可测集的积集 (“矩形”) 可测, 且测度是它们测度的乘积, 所有可测集构成的 $σ$ -代数由这类 “矩形” 生成. 如果 $X, Y$ 均 $σ$ -有限, 可以证明乘积测度存在且唯一.

通过归纳, 乘积测度也可以自然的定义在有限个 $σ$ -有限可测空间的积集上. 例如 $R^{n}$ 上的 Lebesgue 测度 (视为 Borel 测度) 就是 $n$ 个 $R$ 上的 Lebesgue 测度的乘积. 对无穷多的测度空间, 如果它们都是概率空间, 也可以定义它们的乘积测度.

1定义
2性质
存在唯一性
3例子

1定义

定义 1.1 ( $X \times Y$ 上的乘积测度). 对测度空间 $(X, A, μ)$ 和 $(Y, B, ν)$ , 所有形如 $A \times B$ (其中 $A \in A, B \in B$ ) 的集合生成的 $σ$ - 代数记作 $A \otimes B$ , 称为 $σ$ -代数 $A$ 和 $B$ 的乘积.

下面的定理表明, 若 $μ, ν$ 都是 $σ$ -有限的, 那么在可测空间 $(X \times Y, A \otimes B)$ 上, 存在唯一的测度 $μ \times ν$ 使得 $(μ \times ν) (A \times B)$ 对每个 $A \in A, B \in B = μ (A) ν (B)$ 都成立, 称为乘积测度.

定义 1.2 (可数个概率空间的乘积测度).

2性质

存在唯一性

定理 2.1. 对任意两个 $σ$ -有限的测度空间 $(X, A, μ)$ 和 $(Y, B, ν)$ , 可测空间 $(X \times Y, A \otimes B)$ 上存在唯一的测度 $μ \times ν$ 使得对任意的 $A \in A, B \in B$ , 有 $(μ \times ν) (A \times B) = μ (A) ν (B) .$ 具体来说, 对任意 $E \in A \otimes B$ , $(μ \times ν) (E)$ 由下式给出 $(μ \times ν) (E) = \int_{X} ν (E_{x}) μ (d x) = \int_{Y} μ (E^{y}) ν (d y),$ 其中 $E_{x} = {y \in Y : (x, y) \in E}, E^{y} = {x \in X : (x, y) \in E} .$

证明.

证明. 首先注意到一个简单的事实, 若 $f$ 是 $X \times Y$ 上的函数, 那么对任意的 $x_{0} \in X$ 和 $y_{0} \in Y$ , $f_{x}$ 和 $f^{y}$ 分别是 $Y$ 和 $X$ 上的函数, 并且恒等式 $f_{x_{0}} (y) = f (x_{0}, y), f^{y_{0}} (x) = f (x, y_{0})$ 成立, 其中 $x \in X, y \in Y$ .

引理 2.2. 设 $(X, A)$ 和 $(Y, B)$ 是可测空间.

(a)	若 $E \subseteq A \otimes B$ , 那么对任意的 $x \in X, y \in Y$ , $E_{x} \in B$ , $E^{y} \in A$ .
(b)	若函数 $f$ 是 $A \otimes B$ -可测的广义实值 (或者复值) 函数, 那么对任意的 $x \in X, y \in Y$ , $f_{x}$ 是 $B$ -可测的, $f^{y}$ 是 $A$ -可测的.

注 2.3. 引理 (b) 部分中 " $A \otimes B$ -可测 " 指的是 $\overline{R}$ 上开集的原像属于 $A \otimes B$ , 剩下的同理.

证明. 设 $x \in X$ , 定义集合 $F = {E \in X \times Y : E_{x} \in B}$ , 由于带可测边的矩形 $A \times B$ 在点 $x$ 处的 $(A \times B)_{x}$ 要么等于 $B$ 要么为空集, $F$ 会包含全体带可测边的矩形; 特别地, $X \times Y \in F$ . 恒等式 $(E^{c})_{x} = (E_{x})^{c}$ 和 $(⋃_{n} E_{n})_{x} = ⋃_{n} ((E_{n})_{x})$ 告诉我们 $F$ 对补运算和可数并运算封闭, 从而 $F$ 是一个 $σ$ -代数, 从而 $A \otimes B \subseteq F$ , 这就证明了 (a) 的前半部分, 后半部分同理可得.

恒等式

(f_{x})^{- 1} (D) = (f^{- 1} (D))_{x}

和

(f^{y})^{- 1} (D) = (f^{- 1} (D))^{y}

告诉我们 (b) 是对的, 和 (a) 一起.

$□$

引理 2.4. 设 $(X, A, μ)$ 和 $(Y, B, ν)$ 是 $σ$ -有限的测度空间, 若 $Ｅ \in A \otimes B$ , 那么函数 $x \mapsto ν (E_{x})$ 是 $A$ -可测的, $y \mapsto μ (E^{y})$ 是 $B$ -可测的.

证明. 不妨假设 $ν$ 是有限测度, 定义集合 $F = {E \in A \otimes B : x \mapsto ν (E_{x}) 是 A - 可测的}$ , 引理告诉我们 $E_{x} \in A$ , 从而这个函数是有意义的. 若 $A \in A, B \in B$ , 那么 $ν ((A \times B)_{x}) = ν (B) χ_{A} (x)$ , 从而 $F$ 包含了所有带可测边的矩形; 特别地, $X \times Y \in F$ . 接着对 $E, F \in A \otimes B, E \subseteq F$ , $ν ((F ∖ E)_{x})$ , 于是 $F ∖ E \in F$ ; 对一递增的集列 ${E_{n}}, E_{n} \in A \otimes B$ , 有 $ν ((⋃_{n} E_{n})_{x}) = lim_{n} ν ((E_{n})_{x})$ , 也就是说 $⋃_{n} E_{n} \in F$ , 综上 $F$ 是一个 Dynkin-类. 因为全体带可测边的矩形对有限交封闭, 即 $(A_{1} \times B_{1}) \cap (A_{2} \times B_{2}) = (A_{1} \cap A_{2}) \times (B_{1} \cap B_{2})$ , 所以 $F$ 是包含全体带可测边的矩形的最小 $σ$ -代数, 于是 $F = A \otimes B$ .

现在假设

ν

是

σ

-有限的, 设

D_{n} \in B, ⋃_{n} D_{n} = Y, μ (D_{N}) < + \infty

, 对每个

n \in N

定义

B

上的有限测度

ν_{n} (B) = ν (B \cap D_{n})

, 由前证函数

x \mapsto ν (E_{x})

是

A

-可测的, 而

ν (E_{x}) = \sum_{n} ν_{n} (E_{x})

对任意的

x \in X

都成立, 于是

x \mapsto ν (E_{x})

是

A

-可测的.

y \mapsto μ (E_{x})

的情况类此.

$□$

接下来开始定理的证明:

证明. 定义 $A \otimes B$ 上的函数 $(μ \times ν)_{1}$ 和 $(μ \times ν)_{2}$ : $(μ \times ν)_{1} (E) = \int_{X} ν (E_{x}) μ (d x), (μ \times ν)_{2} = \int_{Y} μ (E^{y}) ν (d y)$ .

显然

(μ \times ν)_{1} (\emptyset) = (μ \times ν)_{2} (\emptyset) = 0

; 对

A \otimes B

中一列不交的集合

{E_{n}}

, 令

E = ⋃_{n} E_{n}

, 那么

{(E_{n})_{x}}

在

B

中同样是不交的, 且有

E_{x} = ⋃_{n} ((E_{n})_{x})

, 于是

ν (E_{x}) = \sum_{n} ν ((E_{n})_{x})

. 根据 Beppo Levi 定理, 有

(μ \times ν)_{1} (E) = \int_{X} ν (E_{x}) μ (d x) = n \sum \int_{X} ν ((E_{n})_{x}) μ (d x) = n \sum (μ \times ν)_{1} (E_{n})

这就证明了

(μ \times ν)_{1}

是可数加性的. 同理可证

(μ \times ν)_{2}

是可数加性的, 唯一性由

(μ \times ν)_{1} (A \times B) = μ (A) ν (B) = (μ \times ν)_{2} (A \times B)

与

π

-类的性质一起保证.

$□$

3例子

•	作为 Borel 测度, $R^{n}$ 上的 Lebesgue 测度就是 $n$ 个 $R$ 上的 Lebesgue 测度的乘积.

术语翻译

乘积测度 • 英文 product measure

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2性质

存在唯一性

3例子