Hermite 度量

关于复向量丛上的 Hermite 度量, 请参见 “Hermite 度量 (向量丛)”.

Hermite 度量是复流形 (或近复流形) 上的一种结构, 是 Riemann 度量在复几何中的一种类比.

1定义

Hermite 度量

(...)

对应的 Riemann 度量

给定 Hermite 流形 $(X,\omega )$, 我们可以定义其上的 Riemann 度量以及正定的 Hermite 形式. 我们将在此处对其进行具体计算.

Hermite 流形上存在一个自然的 Riemann 度量:

定义 1.1 (Hermite 流形的 Riemann 度量). 我们先定义 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的 Hermite 度量 $H:T_{\mathbb{C}}X\times \overline{T_{\mathbb{C}}X}\to \mathbb{C}$, 它满足$$H(u,v)=h(u^{1,0},v^{1,0})+h(\overline{v^{0,1}},\overline{u^{0,1}})对u,v\in T_{\mathbb{C}}X$$将 $H$ 限制在 $T_{\mathbb{R}}X$ 上, 我们便得到由 $h$ 诱导的 Riemann 结构 $g:T_{\mathbb{R}}X\times T_{\mathbb{R}}X\to \mathbb{R}$.

容易验证, $g$ 与 $X$ 上可积的近复结构相容, 亦即: $$g(u,v)=g(Ju,Jv)对u,v\in T_{\mathbb{R}}X$$

使用局部坐标, $g$ 可被表示为: $$\begin{array}{rl}g\left(\frac{\partial }{\partial x^j},\frac{\partial }{\partial x^k}\right)& =g\left(\frac{\partial }{\partial x^J},\frac{\partial }{\partial x^K}\right)=h_{j\overline{k}}+\overline{h_{j\overline{k}}}=h_{j\overline{k}}+h_{k\overline{j}}\\ g\left(\frac{\partial }{\partial x^j},\frac{\partial }{\partial x^K}\right)& =-i(h_{j\overline{k}}-\overline{h_{j\overline{k}}})\end{array}$$

Hermite 形式

定义 1.2 (Hermite 形式). 定义实流形 $X$ 上的微分 2-形式 $\omega$: $$\omega (u,v)=g(Ju,v)对u,v\in T_{\mathbb{R}}X$$我们通常将之称为 Hermite 形式. 利用 $\omega$ 与 $h$ 间简单的转化关系, 我们有时用 $(X,\omega )$ 定义 Hermite 结构.

利用 $T_{\mathbb{C}}X=T_{\mathbb{R}}X{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$, 我们将 $g$ 与 $\omega$ 自然地延拓为 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的双线性型, 它们在局部坐标下表示为: $$\begin{array}{rl}\omega & =\frac{i}{2}\sum _{1\le j,k\le n}{h}_{j\overline{k}}\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k\\ g& =\frac{1}{2}\sum _{1\le j,k\le n}(h_{j\overline{k}}\mathrm{d}{z}^j\otimes \mathrm{d}{\overline{z}}^k+h_{k\overline{j}}\mathrm{d}{\overline{z}}^j\otimes \mathrm{d}{z}^k)\end{array}$$

我们有时也考虑由 $h$ 诱导的在 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的双线性型 $\mathrm{d}{s}_h^2$, 它在局部坐标下表示为:$$\mathrm{d}{s}_h^2=\sum _{1\le j,k\le n}{h}_{j\overline{k}}\mathrm{d}{z}^k\otimes \mathrm{d}{\overline{z}}^j$$它可被内蕴地刻画:$$\mathrm{d}{s}_h^2(u,v)=h(u^{1,0},\overline{v^{0,1}})对u,v\in T_{\mathbb{C}}X$$于是我们有等式:$$\mathrm{d}{s}_h^2=g-i\omega$$将上述等式限制在 $T_{\mathbb{R}}X$ 上, 我们有$$\omega =-\Im h,g=\Re h$$

2性质

引理 2.1. 记 ${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_g$ 为 $(X,g)$ 的体积形式, 我们有$${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_g=\frac{{\omega }^n}{n!}$$

证明. 使用局部坐标 $\{z^1,\cdots ,z^n,{\overline{z}}^1,\cdots ,{\overline{z}}^n\}$ 计算, 考虑到$$\det g=\frac{1}{2^{2n}}\det (h_{j\overline{k}}{)}^2$$

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术语翻译