Hermite 流形

Hermite 流形是具有 Hermite 度量的复流形. 通过其上的度量, 我们可以讨论与之相容的联络与曲率. 相应的研究被称为 Hermite 几何.

1定义

定义 1.1 (Hermite 流形). Hermite 流形是二元组 $(X,h)$, 其中

•	$X$ 是复流形.
•	$h$ 是 $X$ 上的 Hermite 度量.

注 1.2. 通过单位分解, 我们可以给任何一个复流形赋予 Hermite 结构.

2性质

Riemann 度量

主条目: Hermite 度量

Hermite 流形上存在一个自然的 Riemann 度量:

定义 2.1 (Hermite 流形的 Riemann 度量). 我们先定义 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的 Hermite 度量 $H:T_{\mathbb{C}}X\times \overline{T_{\mathbb{C}}X}\to \mathbb{C}$, 它满足$$H(u,v)=h(u^{1,0},v^{1,0})+h(\overline{v^{0,1}},\overline{u^{0,1}})\text{对 }u,v\in T_{\mathbb{C}}X.$$将 $H$ 限制在 $T_{\mathbb{R}}X$ 上, 我们便得到由 $\mathbf{h}$ 诱导的 Riemann 结构 $g:T_{\mathbb{R}}X\times T_{\mathbb{R}}X\to \mathbb{R}$.

我们经常考虑如下的正定微分 $2$-形式:

定义 2.2 (Hermite 形式). 定义实流形 $X$ 上的微分 $2$-形式 $\omega$: $$\omega (u,v)=g(Ju,v)\text{对 }u,v\in T_{\mathbb{R}}X.$$我们通常将之称为 Hermite 形式. 利用 $\omega$ 与 $h$ 间简单的转化关系, 我们有时用 $(X,\omega )$ 定义 Hermite 结构.

有关上述的度量的计算与性质, 请参见 Hermite 度量.

联络与曲率

主条目: 曲率 (Hermite 流形)

Hermite 流形的黎曼结构自然地给出 Levi-Civita 联络, 而全纯向量丛上的 Hermite 度量又自然地给出陈联络. 这些不同的联络使得 Hermite 流形具有各不相同的曲率概念.

3例子

例 3.1 (单连通常曲率流形).

•	$({\mathbb{CP}}^n,i\partial \overline{\partial }\log (1+|z{|}^2))$ 是 Kähler 流形, 它的曲率可表示为$$\Theta (U,\overline{V},Y,\overline{Z})=h(U,V)h(Y,Z)+h(U,Z)h(Y,V).$$
•	$({\mathbb{C}}^n,i\partial \overline{\partial }|z{|}^2)$ 是 Kähler 流形, 它的曲率可表示为$$\Theta (U,\overline{V},Y,\overline{Z})=0.$$
•	$({\mathbb{B}}^n,i\partial \overline{\partial }\log (1-|z{|}^2))$ 是 Kähler 流形, 它的曲率可表示为$$\Theta (U,\overline{V},Y,\overline{Z})=-(h(U,V)h(Y,Z)+h(U,Z)h(Y,V)).$$

注 3.2. 利用一致化定理, 如果 $(X,\omega )$ 是一完备 Kähler 流形且全纯双截曲率为常数, 那么它的万有覆叠定为以上三者之一.

4相关概念

•	Kähler 流形
•	Riemann 流形
•	全纯向量丛
•	Schwartz 引理
•	一致化定理

术语翻译

Hermite 流形 • 英文 Hermitian manifold • 德文 hermitesche Mannigfaltigkeit • 法文 variété hermitienne • 拉丁文 multiplex Ermitanum