Hilbert 第三问题

Hilbert 第三问题是 Hilbert 的 23 个问题之一, 问的是同体积的多面体是否总能通过剪切、粘贴而互相得到. 该问题于 1900 年被 Max Dehn 用其不变量解决, 是 Hilbert 问题当中最快得到解决者.

1问题及其背景

不难发现, 对于欧氏平面中任两个同面积的多边形, 我们都能将其中一个剪切为有限多块, 然后拼成另一个. 这称为 Wallace–Bolyai–Gerwien 定理. 有鉴于此, David Hilbert 便好奇在三维欧氏空间中是否能做类似的事, 这便是 Hilbert 第三问题. Hilbert 本人猜测此问题结论为否定, 尔后被其学生 Dehn 证明.

定理 1.1 (Dehn). 存在两个体积相等的多面体, 不能将一个剪切然后粘贴成另一个.

2解决

Dehn 巧妙定义如下不变量以解决问题.

定义 2.1. 设 ${\mathbb{R}}^3$ 中多面体 $X$ 各棱长度为 ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_e$, 对应的二面角角度分别为 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_e$, 则其 Dehn 不变量定义为 $\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}/\mathbb{Z}\pi$ 中的元素$$\sum _{i=1}^e{\ell }_i\otimes {\theta }_i.$$

容易算出, 标准正八面体的 Dehn 不变量为 $24\sqrt{2}\otimes \arctan \sqrt{2}\ne 0$, 而任意长方体的 Dehn 不变量都为 $0$. 取体积与标准正八面体相等的长方体, 即得结论. 更详细的论述参见主条目 Dehn 不变量.

3后续

有了以上定理, 我们可以继续追问, 什么样的两个多面体能通过剪切、粘贴互相得到? Jean-Pierre Sydler 于 1965 年证明, 只要两个多面体体积和 Dehn 不变量都相等, 就没问题. 尔后 Børge Jessen 又证明了四维情形的类似结论. Dupont 和 Sah 于 1990 年又用典型群的同调重新解释这一现象.

还可以在球面几何和双曲几何中问类似问题, 而类似地定义 Dehn 不变量仍能给出否定的结论. 但这些几何中是否有类似于上述 Sydler 的结果, 至今仍是未解之谜.

4相关条目

•	Dehn 不变量
•	Wallace–Bolyai–Gerwien 定理
•	Banach–Tarski 定理

术语翻译

Hilbert 第三问题 • 英文 Hilbert’s third problem