Dehn 不变量

Dehn 不变量是刻画多面体的剪切、粘贴的一个不变量, 由 David Hilbert 的学生 Max Dehn 为解决 Hilbert 第三问题而作. 在 Hilbert 提出其问题当年, Dehn 就作出此不变量而解决之, 使此问题成为 Hilbert 的 23 个问题中解决最快者.

1定义

定义 1.1. 设 ${\mathbb{R}}^3$ 中多面体 $X$ 各棱长度为 ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_e$, 对应的二面角角度分别为 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_e$, 则其 Dehn 不变量定义为 $\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}/\mathbb{Z}\pi$ 中的元素$$\sum _{i=1}^e{\ell }_i\otimes {\theta }_i.$$因剪切多面体时或者切断一条棱而不改变其二面角, 或者沿着一条棱切割二面角, 又或者切断一个面从而产生两个互补的二面角, 故依定义容易发现, 一个多面体集合的各元素 Dehn 不变量之和在多面体剪切、粘贴操作下不变.

注 1.2. 注意 $\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}/\mathbb{Z}\pi =\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$ 为 $\mathbb{Q}$-线性空间张量积. 故如 $c_1,\dots ,c_n$ 与 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 为非零实数, 满足 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,\pi$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关, 则$$\sum _{i=1}^n{c}_i\otimes {\alpha }_i\ne 0.$$

2例子

•	显然长方体的 Dehn 不变量总是 $0$.
•	顶点处于 $(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)$ 的标准正八面体的 Dehn 不变量为 $24\sqrt{2}\otimes \arctan \sqrt{2}\ne 0$. (注意如果 $\arctan \sqrt{2}=q\pi$ 而 $q\in \mathbb{Q}$, 则由于 $\tan (q\pi )=\sqrt{2}$ 为二次代数数, 由单位根的理论知 $q$ 的分母至多是 $8$; 逐一验证知不可能.)

3应用

Dehn 不变量是为以下 Hilbert 第三问题量身打造的.

定理 3.1 (Dehn). 存在两个体积相等的多面体, 不能将一个剪切然后粘贴成另一个.

证明. 上面已经算出标准正八面体具有非零 Dehn 不变量; 任取与之体积相等的长方体即得结论.

$\square$

注 3.2 (关于选择公理). 虽然线性空间必有基需要选择公理, 但此处并不需要. 注意本质上用到的也就是注 1.2, 而$$\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi =\underset{V,W}{\mathrm{colim}}V{\otimes }_{\mathbb{Q}}W,$$其中 $V\subseteq \mathbb{R}$, $W\subseteq \mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$ 均取遍有限维 $\mathbb{Q}$-子空间; 而滤余极限中一个元素为 $0$ 当且仅当其在某一步已经为 $0$, 从而只需在有限维线性空间中证明注 1.2, 自然不需要选择公理.

Jean-Pierre Sydler 于 1965 年证明, 只要两个多面体体积和 Dehn 不变量都相等, 就可以将一个剪切然后粘贴成另一个. 这说明体积和 Dehn 不变量是多面体仅有的两个剪切不变量.

4相关条目

•	Hilbert 第三问题

术语翻译

Dehn 不变量 • 英文 Dehn invariant