Lebesgue 点

Lebesgue 点是个实分析概念. ${\mathbb{R}}^d$ 上 Lebesgue 可积函数的 Lebesgue 点指的是函数值与周围函数值平均而言差不多的点 (定义 1.1).

1定义

定义 1.1. 设函数 $f:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$ 为 Lebesgue 可测. 称 $x\in {\mathbb{R}}^d$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点, 指的是$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|f(y)-f(x)|\mathrm{d}y=0,$$其中 $m$ 表示 Lebesgue 测度, $B_r(x)=\{y\in {\mathbb{R}}^d\mid |y-x|<r\}$.

2性质

Lebesgue 点最重要的性质如下:

定理 2.1. 设函数 $f:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$ 为局部可积, 即限制在 ${\mathbb{R}}^d$ 的任一有界开集上都是 Lebesgue 可积. 则 $f$ 的 Lebesgue 点为几乎处处, 即 Lebesgue 点集的补集 Lebesgue 零测.

证明. 由于一个点是不是 Lebesgue 点只依赖于其附近的函数值, 而 ${\mathbb{R}}^d$ 被可数个有界开集覆盖, 故把 $f$ 在一个有界开集之外截成 $0$, 可设 $f$ 本身 Lebesgue 可积.

为简明起见, 暂记$$Lf(x)=\underset{r\to 0^{+}}{\mathrm{limsup}}\frac{1}{m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|f(y)-f(x)|\mathrm{d}y,$$则需证明 $Lf$ 几乎处处为 $0$. 为此, 只需对任一 $\epsilon >0$ 证明 $m\{Lf>\epsilon \}=0$, 其中 $\{Lf>\epsilon \}$ 是 $\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid Lf(x)>\epsilon \}$ 的简写. 现对 $\delta >0$, 写 $f=g+h$, 其中 $g$ 紧支连续, $\Vert h{\Vert }_{L^1}<\delta$. 则显然 $Lf\le Lg+Lh$, 且由连续性 $Lg=0$. 接下来用 Hardy–Littlewood 极大函数估计 $Lh$. 回忆极大函数的定义$$Mh(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|h(y)|\mathrm{d}y,$$及其性质 $m\{Mh>\epsilon \}\le 3^d{\epsilon }^{-1}\Vert h{\Vert }_{L^1}$. 又注意 $Lh\le Mh+|h|$, 而 $m\{|h|>\epsilon \}\le {\epsilon }^{-1}\Vert h{\Vert }_{L^1}$. 于是$$m^{\ast }\{Lf>2\epsilon \}\le m^{\ast }\{Lh>2\epsilon \}\le m\{Mh>\epsilon \}+m\{|h|>\epsilon \}\le (3^d+1){\epsilon }^{-1}\Vert h{\Vert }_{L^1}<(3^d+1){\epsilon }^{-1}\delta ,$$故由 $\delta$ 的任意性, $m\{Lf>2\epsilon \}=0$. 定理得证.

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3应用

Lebesgue 点有各种应用, 在此展示几例.

命题 3.1. 设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^d$ 为 Lebesgue 可测, $m(E)>0$. 则 $E-E=\{x-y\mid x,y\in E\}$ 包含 $0$ 的邻域.

证明. 考虑 $E$ 的示性函数 $1_E$, 即在 $E$ 中取值 $1$ 在 $E$ 外取值 $0$ 的函数. 显然其局部可积, 故其 Lebesgue 点几乎处处. 而 $m(E)>0$, 所以可取 $a\in E$, 是 $1_E$ 的 Lebesgue 点. 由 Lebesgue 点的定义不难得到$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{m(E\cap B_r(a))}{m(B_r(a))}=1.$$于是可取 $r>0$, 使得 $m(E\cap B_r(a))>(1-2^{-d-1})m(B_r(a))$. 我们来证明此时 $E-E\supseteq B_r(0)$. 记 $B=B_r(a)$, $F=E\cap B$. 对任一 $z\in B_r(0)$, 由 $B\cap (B+z)\supseteq B_{r/2}(a+z/2)$ 知 $m(B\cap (B+z))\ge m(B_{r/2}(a+z/2))=2^{-d}m(B)$, 从而 $m(B\cup (B+z))\le (2-2^{-d})m(B)$. 这样一来, 由于 $F$ 和 $F+z$ 都是 $B\cup (B+z)$ 的子集, 而 $m(F)=m(F+z)>(1-2^{-d-1})m(B)$, 所以 $F\cap (F+z)\ne \varnothing$. 取 $x\in F\cap (F+z)$, 则 $x,x-z\in F\subseteq E$, 即 $z=x-(x-z)\in E-E$.

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命题 3.2. 设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^d$, $\rho \in {\mathbb{R}}_{+}$. 则集合 $\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid d(x,E)=\rho \}$ 为 Lebesgue 零测, 其中 $d(x,E)={\inf }_{y\in E}|x-y|$.

证明. 把 $E$ 换成其闭包不改变 $d(x,E)$, 故可设 $E$ 为闭集. 这样的好处是 $d(x,E)$ 定义中的 $\inf$ 总能在某个 $y\in E$ 取到. 考虑集合$$U=\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid d(x,E)<\rho \},$$则它显然为开集, 特别地其示性函数 $1_U$ 为局部可积. 现对满足 $d(x,E)=\rho$ 的点 $x$, 取 $y\in E$ 使得 $|x-y|=\rho$. 则 $U\supseteq B_{\rho }(y)$, 从而$$\underset{r\to 0^{+}}{\mathrm{liminf}}\frac{m(U\cap B_r(x))}{m(B_r(x))}\ge \underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{m(B_{\rho }(y)\cap B_r(x))}{m(B_r(x))}=\frac{1}{2}.$$而 $x\notin U$, $1_U(x)=0$, 所以 $x$ 不是 $1_U$ 的 Lebesgue 点. 集合 $\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid d(x,E)=\rho \}$ 中的元素都不是 $1_U$ 的 Lebesgue 点, 所以它零测.

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4相关概念

•	Hardy–Littlewood 极大函数

术语翻译

Lebesgue 点 • 英文 Lebesgue point • 法文 point de Lebesgue