Lefschetz (1,1) 定理

在复几何中, Lefschetz $(1,1)$ 定理说明, 紧 Kähler 流形的任何整 $(1,1)$-类都能写成某个全纯线丛的第一陈类. 这一结论蕴涵 $(1,1)$-类的 Hodge 猜想, 而这是该猜想唯一已证明的非平凡情况.

1陈述与证明

定理 1.1 (Lefschetz $(1,1)$ 定理). 设 $X$ 为紧 Kähler 流形. 考虑第一陈类给出的映射$$c_1:\mathrm{Pic}(X)\to H^2(X;\mathbb{Z}),$$其中 $\mathrm{Pic}(X)$ 是 $X$ 的 Picard 群. 则该映射的像是$$H^2(X;\mathbb{Z})\cap H^{1,1}(X;\mathbb{C}).$$确切地说, 这里的交其实是指 $H^{1,1}(X;\mathbb{C})$ 在映射 $H^2(X;\mathbb{Z})\to H^2(X;\mathbb{C})$ 下的原像.

证明. 由陈联络的存在性, 知全纯线丛的第一陈类是 $(1,1)$-类. 只需再证明任何整 $(1,1)$-类都能写成全纯线丛的陈类.

考虑指数正合列$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{2\pi \mathrm{i}}{\to }{\mathcal{O}}_X\stackrel{\exp }{\to }{\mathcal{O}}_X^{\times }\to 0,$$它诱导层上同调的长正合列$$\cdots \to H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\times })\stackrel{c_1}{\to }{H}^2(X,\mathbb{Z})\stackrel{i_{\ast }}{\to }{H}^2(X,{\mathcal{O}}_X)\to \cdots ,$$其中 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\times })\simeq \mathrm{Pic}(X)$. 而由 Hodge 理论有 $H^2(X,{\mathcal{O}}_X)\simeq H^{0,2}(X;\mathbb{C})$, 这一同构与映射 $i_{\ast }$ 相容. 这说明任何整 $(1,1)$-类在 $i_{\ast }$ 下的像为零, 从而是某个线丛的 $c_1$ 类.

$\square$

2相关概念

•	Hodge 理论
•	Hodge 猜想

术语翻译

Lefschetz $(1,1)$ 定理 • 英文 Lefschetz theorem on $(1,1)$-classes