紧空间

紧空间 (又称为紧致空间) 是一类拓扑空间, 其中每个序列 (以及推广的序列) 都必定会在某一点处堆积起来, 形成聚点 (命题 4.1). 紧空间是 Euclid 空间中有界闭集的推广.

1定义

定义 1.1 (开覆盖).拓扑空间. 的一个开覆盖是指一族开子集 , 其中 是集合, 满足如果 是有限集, 就称 是一个有限开覆盖.

开覆盖 子覆盖是指一个子集 给出的开覆盖 , 也就是说,

定义 1.2 (紧空间).拓扑空间. 被称为紧空间, 如果 的任意开覆盖 (定义 1.1) 都具有有限子覆盖 (定义 1.1).

2性质

命题 2.1 (绝对性). 是拓扑空间, 是其子集, 视为带子空间拓扑. 则 是紧空间当且仅当 中任一覆盖 的开集族都有有限子族仍覆盖 .

由以上命题, 我们常将紧空间称为紧集.

命题 2.2. 是拓扑空间, 是连续映射, 是紧子集. 则 紧.

3例子

(...)

4等价刻画

通过收敛性

命题 4.1. 是拓扑空间. 则下列等价:

是紧空间.

中所有真滤子都有收敛的真加细, 也就是说, 都有聚点.

中所有都有收敛的子网, 也就是说, 都有聚点.

(...)

5相关概念

仿紧空间

紧算子

紧对象

紧合映射

拟紧态射

紧合态射

术语翻译

紧空间英文 compact space德文 kompakter Raum法文 espace compact拉丁文 spatium compactum古希腊文 συμπαγὴς χῶρος

(形容词)英文 compact德文 kompakt法文 compact拉丁文 compactus古希腊文 συμπαγής

紧性英文 compactness德文 Kompaktheit (f)法文 compacité (f)拉丁文 compactitas (f)古希腊文 συμπάγεια (f)