Perron 公式

Perron 公式一般指下列用于估计 Dirichlet 级数部分和的积分公式:

$${\sum _{n\le x}}^{\prime }\frac{a_n}{n^s}=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w$$(1)

其中 ${{\sum }_{n\le x}}^{\prime }$ 在 $x$ 为整数时取柯西主值, $F(s)$ 为 $a_n$ 对应的 Dirichlet 级数.

1Perron 公式的起源

倘若我们定义:

$$H(t)=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ 1& t\ge 0\end{array}$$

则根据 Laplace 逆变换公式可以发现当 $t\ne 0,c>0$ 时:

$$H(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\infty }^{c+i\infty }\frac{e^{wt}}{w}\mathrm{d}w$$(2)

因此形式上我们可以发现当 $x$ 不为整数时:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}\frac{a_n}{n^s}& =\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}H(\log x-\log n)\\ & =\sum _{n\ge 1}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\infty }^{c+i\infty }{\left(\frac{x}{n}\right)}^w\frac{a_n}{n^s}\frac{\mathrm{d}w}{w}\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\infty }^{c+i\infty }\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w\end{array}$$

但由于 (2) 中的柯西主值积分不绝对收敛, 所以直接用形如 (1) 的反演公式来研究渐近问题将会非常困难. 因此接下来我们要把 (2) 化为带误差项的有限积分从而得到可操作性更强的 Perron 公式.

2带误差项的 Perron 公式

阶梯函数的积分公式

现在我们设 $T>0$ 并研究积分:

$$I(t;c,T)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{e^{wt}}{w}\mathrm{d}w$$(3)

很明显当 $t>0$ 时 $I(t;c,T)$ 在 $c\to -\infty$ 时趋于零, 此时根据留数定理可知当 $c,k>0$ 时:

$$\begin{array}{rl}I(t;c,T)-I(t;-k,T)-1& ={\int }_{c-iT}^{-k-iT}+{\int }_{-k+iT}^{c+iT}\\ & \ll \frac{1}{T}{\int }_{-k}^c{e}^{rt}\mathrm{d}t=\frac{e^{ct}-e^{-kt}}{Tt}\end{array}$$

另一方面当 $t<0$ 时 $I(c,k,T)$ 在 $c\to +\infty$ 时趋于零, 所以 $c,k>0$ 时有:

$$\begin{array}{rl}I(t;c,T)-I(t;k,T)& ={\int }_{c-iT}^{k-iT}+{\int }_{k+iT}^{c+iT}\\ & \ll \frac{e^{ct}-e^{kt}}{T|t|}\end{array}$$

现在令 $k\to +\infty$ 我们就可以把上面两个结论统一, 并得到适用于 $t\ne 0$ 的表达式:

$$H(t)=I(t;c,T)+O\left(\frac{e^{ct}}{T|t|}\right)$$(4)

当 $z\to 0$ 时我们知道 $e^z=1+O(|z|)$, 所以当 $t$ 在零附近时:

$$\begin{array}{rl}I(t;c,T)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{e^{ct}\mathrm{d}w}{w}\mathrm{d}w+O\left\{e^{ct}{\int }_{c-iT}^{c+iT}|t\Im (w)|\frac{|\mathrm{d}w|}{|w|}\right\}\\ & =O(e^{ct})+O\left\{e^{ct}|t|{\int }_0^T\mathrm{d}r\right\}=O(e^{ct}(1+|t|T))\end{array}$$

很明显当 $|t|\le T^{-1}$ 时右侧就变成了 $O(1)$, 所以将 $|t|\le T^{-1}$ 的误差项和 $|t|\ge T^{-1}$ 时的 (4) 结合起来, 便得结论:

引理 2.1. 对于一切实数 $t$ 和正实数 $T>0$ 均有: $$|H(t)-I(t;c,T)|\ll e^{ct}\min \left(\frac{1}{T|t|},1\right)$$

第一型 Perron 公式

现在我们对部分和 ${\sum }_{n\le x}{a}_n{n}^{-s}$ 套用引理 2.1 则结合 (3) 可知:

定理 2.2. 若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 为 Dirichlet 级数为 $F(s)$ 的系数, 则当 $\Re (s)=\sigma$、$c>0$、$T\ge 2$ 时: $$\sum _{n\le x}\frac{a_n}{n^s}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w+R$$(5)

其中误差项 $R$ 满足:

$$R\ll \sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^{\sigma }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^c\min \left(\frac{1}{T|\log x/n|},1\right)$$(6)

在文献 [Ten95] 中, 定理 2.2 被称为第一型 Perron 公式.

误差项 $R$ 的简化

从 (6) 中我们可以发现第一型 Perron 公式余项中的分母 $|\log x/n|$ 处理起来是最棘手的. 因此我们先考虑把 $|\log x/n|\ge \log 2$ 的情况分离出来便有:

$$R\ll \frac{x^c}{T}\sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^{\sigma +c}}+\underset{R_1}{\underbrace{\sum _{x/2\le n\le 2x}\frac{|a_n|}{n^{\sigma }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^c\min \left(\frac{1}{T|\log x/n|},1\right)}}$$(7)

当 $z\to 0$ 时我们知道 $\log (1+z)\sim z$, 所以 $x/2\le n\le 2x$ 时总有:

$$\left|\log \frac{x}{n}\right|\gg \frac{|x-n|}{x}$$

利用这一点 $R_1$ 就可以被化为:

$$\begin{array}{rl}{R}_1& \ll \sum _{x/2\le n\le 2x}\frac{|a_n|}{n^{\sigma }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^c\min \left(\frac{x}{T|x-n|},1\right)\\ & \ll \frac{1}{x^{\sigma }}\sum _{x/2\le n\le 2x}|a_n|\min \left(\frac{x}{T|x-n|},1\right)\end{array}$$

现在我们设 $N$ 为满足 $a_N\ne 0$ 且 $|x-N|$ 达到最小值的正整数, 则有:

$$R_1\ll \frac{x^{1-\sigma }}{T}\underset{R_3}{\underbrace{\sum _{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}\frac{|a_n|}{|x-n|}}}+\frac{|a_N|}{x^{\sigma }}\min \left(\frac{x}{T|x-N|},1\right)$$(8)

现在我们设正整数 $N_1$ 同时满足 $a_{N_1}\ne 0$ 和 $N_1<N$、正整数 $N_2$ 同时满足 $a_{N_2}\ne 0$ 和 $N_2>N$, 则根据 $N$ 的定义可知 $v=1,2$ 时 $|x-N_i|\ge 1/2$

$$\begin{array}{rl}{R}_3& \ll \underset{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}{\max }|a_n|\left(\sum _{x/2\le n\le N_1}\frac{1}{x-n}+\sum _{N_2\le n\le 2x}\frac{1}{n-x}\right)\\ & \ll \underset{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}{\max }|a_n|\left(\log \frac{x/2}{x-N_1}+\log \frac{x}{N_2-x}\right)\\ & \ll \underset{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}{\max }|a_n|\left(\log \frac{x/2}{1/2}+\log \frac{x}{1/2}\right)\ll (\log x)\underset{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}{\max }|a_n|\end{array}$$

至此我们完成了对误差项 $R$ 的简化. 整合起来我们就得到了第二型 Perron 公式.

第二型 Perron 公式

现在将 $R_3$ 的上界和 (7) 和 (8) 相结合便有:

定理 2.3. 若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 为 Dirichlet 级数为 $F(s)$ 的系数, 则当 $\Re (s)=\sigma$、$c>0$、$T\ge 2$ 时: $$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}\frac{a_n}{n^s}& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w\\ & +O\left\{\frac{x^c}{T}\sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^{\sigma +c}}\right\}+O\left\{\frac{x^{1-\sigma }\log x}{T}\underset{\begin{array}{c}x/2\le n\le 2x\\ n\ne N\end{array}}{\max }|a_n|\right\}\\ & +O\left\{\frac{|a_N|}{x^{\sigma }}\min \left(\frac{x}{T|x-N|},1\right)\right\}\end{array}$$其中 $N$ 为满足 $a_N\ne 0$ 且距 $x$ 最近的整数.

简化的 Perron 公式

定理 2.3 的误差项非常复杂, 但如果我们对参数进行更多的限制就可以得到误差项更简单的 Perron 公式:

定理 2.4. 若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 为 Dirichlet 级数为 $F(s)$ 的系数, 则当 $\Re (s)=\sigma$、$c>0$、$2\le T\le x$ 时: $$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}\frac{a_n}{n^s}& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w\\ & +O\left\{\frac{x^c}{T}\sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^{\sigma +c}}\right\}+O\left\{\frac{x^{1-\sigma }\log x}{T}\underset{x/2\le n\le 2x}{\max }|a_n|\right\}\end{array}$$

当 $a_n=1$ 时我们发现 $\sigma >1$ 时 $F(s)=\zeta (s)\ll (\sigma -1{)}^{-1}$. 所以我们可以做如下推广:

定理 2.5. 若 Dirichlet 级数 $F(s)={\sum }_{n\ge 1}{a}_n{n}^{-s}$ 的绝对收敛横坐标为 ${\sigma }_a$, 且存在 $\alpha >0$ 使得当 $u>{\sigma }_a$ 时: $$\sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^u}=O\left\{\frac{1}{(u-{\sigma }_a{)}^{\alpha }}\right\}$$则当 $\Re (s)=\sigma \le {\sigma }_0$、$c={\sigma }_0-\sigma +(\log x{)}^{-1}$、$T\ge 2$ 时: $$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}\frac{a_n}{n^s}& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}F(s+w)\mathrm{d}w\\ & +O\left\{\frac{x^{1-\sigma }(\log x{)}^{\alpha }}{T}\right\}+O\left\{\frac{x^{1-\sigma }\log x}{T}\underset{x/2\le n\le 2x}{\max }|a_n|\right\}\\ & +O\left\{\frac{|a_N|}{x^{\sigma }}\min \left(\frac{x}{T|x-N|},1\right)\right\}\end{array}$$其中 $N$ 为满足 $a_N\ne 0$ 且距 $x$ 最近的整数. 倘若在此基础上再要求 $T\le x$, 则上式中的最后一项可以被忽略掉.

3应用

Perron 公式在数论上有诸多应用.

调和数的渐近展开

我们不难发现当 $\zeta (s)$ 恰好在 $\alpha =1$ 时满足定理 2.5 的条件, 所以当 $c=(\log x{)}^{-1}$、$T\ge 2$ 时:

$$\sum _{n\le x}\frac{1}{n}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^w}{w}\zeta (w+1)\mathrm{d}w+O\left(\frac{\log x}{T}\right)+O\left(\frac{1}{x}\right)$$

现在我们设 $k>0$ 则根据留数定理可知:

$${\int }_{c-iT}^{c+iT}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(0+)}\frac{x^w}{w}\zeta (w+1)\mathrm{d}w+{\int }_{c-iT}^{-k-iT}+{\int }_{-k-iT}^{-k+iT}+{\int }_{-k+iT}^{c+iT}$$

由文献 [Ten95, 定理 16] 可知存在 $A>0$ 使得当 $c=-A/\log T$ 时 $\zeta (1+w)$ 在积分路径内均为 $O(\log T)$, 于是:

$${\int }_{c-iT}^{-k-iT}+{\int }_{-k-iT}^{-k+iT}+{\int }_{-k+iT}^{c+iT}\ll (\log T{)}^2\exp \left(-\frac{A\log x}{\log T}\right)+\frac{\log T}{T}$$

对于留数, 利用 $\zeta (s)$ 在 $s\to 1$ 时的展开式

$$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\gamma +O(|s-1|)$$

可得:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(0+)}\frac{x^w}{w}\zeta (w+1)\mathrm{d}w& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(0+)}\frac{x^w}{w}\left[\frac{1}{w}+\gamma +O(|w|)\right]\mathrm{d}w\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(0+)}\frac{x^w}{w^2}\mathrm{d}w+\frac{\gamma }{2\pi i}{\int }_{(0+)}\frac{x^w}{w}\mathrm{d}w\\ & =x^0\log x+x^0\gamma =\log x+\gamma \end{array}$$

因此设 $\log T=\sqrt{\log x}$ 和 $0<c_0<\min (1,A)$ 即得:

$$\sum _{n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma +O\left\{\exp \left(-c_0\sqrt{\log x}\right)\right\}$$(9)

事实上利用初等方法, (9) 的误差项就可以被改进到 $O(1/x)$. 这个例子也体现出来即使 Perron 公式是一种非常通用的解析方法, 但有时初等方法能给出更好的误差项.

参考文献

[Ten95]	Tenenbaum, G. (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge University Press.
[Tit86]	Titchmarsh, E. C., & Heath-Brown, D. R. (1986). The theory of the Riemann zeta-function (2nd ed). Oxford University Press.