Dirichlet 级数

约定. 在本文中,

• $s$ 为横坐标为 $\sigma$、纵坐标为 $t$ 的复数. 类似的, 我们设 $s_k={\sigma }_k+i{t}_k$

Dirichlet 级数形如: $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^s}$$

一方面, 它是 Riemann $\zeta$ 函数的推广; 另一方面, 与其它形式的生成函数一样, 它可以反映数列的性质.

1定义

定义 1.1. 对复数列 $\{a_n\}$, 它的 Dirichlet 级数为$$F(s)=\sum _{n\ge 1}^{\infty }\frac{a_n}{n^s}.$$称 $a_n$ 为 $F(s)$ 的系数.

2性质

基本性质

命题 2.1. Dirichlet 级数的加法对应数列的加法, Dirichlet 级数的乘法对应数列的 Dirichlet 卷积.

收敛性

收敛横坐标

证明到时候直接引用 Laplace–Stieltjes 变换的相关证明, 因为更为本质

定理 2.2 (Dirichlet 级数的半平面收敛性). 若 $F(s)$ 在 $s=s_0$ 处收敛, 则其在 $\sigma >{\sigma }_0$ 时均收敛. 并且当 $0\le \theta <\pi /2$ 时, $F(s)$ 在下列扇形区域内一致收敛: $$S(\theta )=\{s\in \mathbb{C}:|\arg (s-s_0)|\le \theta \}$$

证明. 现在设正整数 $N>M>0$ 以及函数 $A(x)={\sum }_{n>x}{a}_n{n}^{-s_0}$, 则利用 Riemann-Stieltjes 积分可知: $$\begin{array}{rl}\sum _{M<n\le N}\frac{a_n}{n^s}& =-{\int }_M^N{x}^{s_0-s}\mathrm{d}A(x)\\ & =A(M)N^{s_0-s}-A(N)N^{s_0-s}\\ & +(s_0-s){\int }_M^{N}A(x)x^{s_0-s-1}\mathrm{d}x\end{array}$$由柯西准则可知对于所有的 $\epsilon >0$ 均存在 $M=M(\epsilon )$ 使得 $x\ge M$ 时总有 $|A(x)|<\epsilon$, 所以: $$\begin{array}{rl}\left|\sum _{M<n\le N}\frac{a_n}{n^s}\right|& <\epsilon \left(2+\frac{|s-s_0|}{\sigma -{\sigma }_0}\right)M^{{\sigma }_0-\sigma }\\ & \le \epsilon \left(2+\sec \theta \right)M^{{\sigma }_0-\sigma }\end{array}$$现在再对 $F(s)$ 使用柯西准则即可得到结论.

$\square$

利用定理 2.2, 我们就可以定义 $F(s)$ 的收敛横坐标了:

推论 2.3 (Dirichlet 级数的收敛横坐标). 倘若 $F(s)$ 不在所有地方收敛或发散, 则存在实数 ${\sigma }_c$ 使得 $F(s)$ 在 $\sigma <{\sigma }_c$ 时发散而在 $\sigma >{\sigma }_c$ 时收敛. 此时称 ${\sigma }_c$ 为 $F(s)$ 的收敛横坐标.

计算公式

利用 Riemann-Sieltjes 积分, 可以发现当 $F(s)$ 在 $s=s_0,{\sigma }_0>0$ 处收敛时我们设 $S(x)={\sum }_{n\le x}{a}_n{n}^{-s_0}$ 则有:

$$\sum _{n\le N}{a}_n={\int }_{1^{-}}^N{u}^{s_0}\mathrm{d}S(u)=S(N)N^{s_0}-s_0{\int }_1^{N}S(u)u^{s_0-1}\mathrm{d}u$$

因为 $S(x)$ 收敛所以存在 $K>0$ 使 $|S(x)|\le K$ 对一切 $x\ge 1$ 都成立, 所以:

$$\left|\sum _{n\le N}{a}_n\right|\le K\left(1+\frac{|s_0|}{{\sigma }_0}\right)N^{{\sigma }_0}$$

写成极限的方式, 便有:

$$\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\log \left|{\sum }_{n\le N}{a}_n\right|}{\log N}\le {\sigma }_0$$

利用这一点我们就可以得到 ${\sigma }_c$ 的计算公式:

定理 2.4. 若 $F(s)$ 满足 ${\sigma }_c>0$ 则有: $${\sigma }_c=\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\log \left|{\sum }_{n\le N}{a}_n\right|}{\log N}$$

运用类似的原理, 可知:

定理 2.5. 若 $F(s)$ 满足 ${\sigma }_c<0$ 则有: $${\sigma }_c=\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\log \left|{\sum }_{n>N}{a}_n\right|}{\log N}$$

3与系数部分和的关系

定理 3.1. 若$$A(x)=\sum _{n\le x}{a}_n$$则有: $$\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}=s{\int }_1^{\infty }\frac{A(x)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x$$

证明. 这是 Riemann–Stieljes 积分的直接应用.

$\square$

4相关概念

•	Dedekind $\zeta$ 函数
•	Dirichlet $L$ 函数
•	Perron 公式
•	推广 Dirichlet 级数

术语翻译

Dirichlet 级数 • 英文 Dirichlet series • 德文 Dirichletreihe • 法文 série de Dirichlet