Riemann–Lebesgue 引理

实分析中, Riemann–Lebesgue 引理指的是, $\mathbb{R}$ 上 $L^1$ 函数 $f(x)$ 的 Fourier 变换 $\hat{f}(\xi )$ 在 $|\xi |\to \infty$ 时趋于 $0$, 或闭区间上 $L^1$ 函数的 Fourier 级数系数在 $|n|\to \infty$ 时趋于 $0$.

1陈述与证明

定理 1.1 (Riemann–Lebesgue). 设 $f(x)\in L^1(\mathbb{R})$, 即 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上 Lebesgue 可积函数. 定义$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x$$为其 Fourier 变换. 则 ${\lim }_{|\xi |\to \infty }\hat{f}(\xi )=0$.

证明. 记 $\Vert f{\Vert }_1={\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|\mathrm{d}x$ 为 $f$ 的 $L^1$-范数, 则显然对任意 $\xi \in \mathbb{R}$, $|\hat{f}(\xi )|\le \Vert f{\Vert }_1$.

•	如 $f$ 可导且导数 $L^1$, 则由分部积分, $\widehat{f^{\prime }}(\xi )=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi )$, 于是 $|\hat{f}(\xi )|\le |\xi {|}^{-1}|\widehat{f^{\prime }}(\xi )|\le |\xi {|}^{-1}\Vert f^{\prime }{\Vert }_1$, 在 $|\xi |\to \infty$ 时趋于 $0$.
•	一般情形用可导且导数 $L^1$ 的来逼近. 具体地说, 我们来对任意 $\epsilon >0$ 证明存在 $M$ 使得 $|\xi |>M$ 时 $|\hat{f}(\xi )|<\epsilon$. 为此, 取 $L^1$ 函数 $g$, 可导且导数 $L^1$, 满足 $\Vert f-g{\Vert }_1<\epsilon /2$, 再取 $M$ 使得 $\Vert \xi \Vert >M$ 时 $|\hat{g}(\xi )|<\epsilon /2$. 此时 $|\hat{f}(\xi )|\le |\widehat{(f-g)}(\xi )|+|\hat{g}(\xi )|\le \Vert f-g{\Vert }_1+\epsilon /2<\epsilon$. $\square$

推论 1.2. 设 $f(x)\in L^1([0,1])$, 即 $f$ 为 $[0,1]$ 上 Lebesgue 可积函数. 定义$$\hat{f}(n)={\int }_0^{1}f(x)e^{-2\pi \mathrm{i}nx}\mathrm{d}x$$为其 Fourier 级数. 则 ${\lim }_{|n|\to \infty }\hat{f}(n)=0$.

证明. 可以照搬定理 1.1 的证明, 也可以直接把 $f$ 零延拓为 $\mathbb{R}$ 上可积函数然后用定理 1.1 的结论.

$\square$

2推广

Riemann–Lebesgue 引理对一般的局部紧交换群成立.

定理 2.1. 设 $G$ 为局部紧交换群, $f(x)\in L^1(G)$. 则其 Fourier 变换$$\hat{f}(\xi )={\int }_{G}f(x){⟨x,\xi ⟩}^{-1}\mathrm{d}x$$属于 $C_0(\hat{G})$, 即 $\hat{f}$ 连续, 且对任意 $\epsilon >0$, $\{\xi \in \hat{G}\mid |\hat{f}(\xi )|\ge \epsilon \}$ 是 $\hat{G}$ 中紧集.

证明. 以 $\mathcal{S}(G)$ 记 Schwartz 函数空间, 则 $\mathcal{S}(G)\subseteq L^1(G)$ 且在其中稠密. 由于 $\widehat{\mathcal{S}(G)}=\mathcal{S}(\hat{G})\subseteq C_0(\hat{G})$ 且 $\Vert \hat{f}{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_1$, 用和定理 1.1 证明中一样的逼近方法即得结论.

$\square$

3相关概念

•	Fourier 变换
•	Fourier 级数

参考文献

[1]	Whittaker, E. T., & Watson, G. N. (2021). A Course of Modern Analysis (V. H. Moll, Ed.; 5th ed.). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/9781009004091