Fourier 变换

Fourier 变换是一种积分变换, 它把函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 变成函数$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}\xi x}dx.$$这么做的目的是把 $f(x)$ 写成形如 ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\xi x}$ 的函数的线性组合, 其中 $\xi$ 取遍所有实数, $\hat{f}(\xi )$ 就是这个线性组合中 ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\xi x}$ 的系数: 我们有$$f(x)={\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi ){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\xi x}d\xi .$$

一般来说, Fourier 变换可以推广到某些拓扑群上. 我们可以将拓扑群上的复值函数写成该拓扑群的连续特征的线性组合, 从而建立拓扑群上函数到它 Pontryagin 对偶上函数的对应.

研究 Fourier 变换及其推广的学科叫做调和分析 (或 Fourier 分析).

1定义

定义 1.1 ($\mathbb{R}$ 上的 Fourier 变换). 函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 的 Fourier 变换是函数$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}\xi x}dx$$(如果这个积分存在).

这个定义可以推广到一般的拓扑群上.

定义 1.2 (群上的 Fourier 变换). 假设 $G$ 是局部紧 Abel 群, $\mu$ 是 $G$ 上的 Haar 测度. 设 $\hat{G}$ 是 $G$ 的 Pontryagin 对偶, 即 $G$ 上所有连续特征构成的拓扑群. 设$$f:G\to \mathbb{C}$$是绝对可积函数. 则 $f$ 的 Fourier 变换定义为函数$$\begin{array}{c}\hat{f}:\hat{G}\to \mathbb{C},\\ \hat{f}(\chi )={\int }_{G}f(x)\overline{\chi (x)}d\mu (x).\end{array}$$

2性质

命题 2.1. 设 $G$ 是局部紧 Abel 群, 设 $\hat{G}$ 是 $G$ 的 Pontryagin 对偶.

•	$\hat{f}(\chi )$ 是 $\hat{G}$ 上连续有界函数.
•	$\widehat{f\ast g}(\chi )=\hat{f}(\chi )\cdot \hat{g}(\chi )$.
•	(Fourier 反演公式) $\hat{G}$ 上有唯一的 Haar 测度 $\xi$, 使得只要 $\hat{f}$ 绝对可积, 就有$$f(x)={\int }_{\hat{G}}\hat{f}(\chi )\chi (x)d\xi (\chi )$$几乎处处成立. 由 Pontryagin 对偶, 上式也可以写为$$\hat{\hat{f}}(-x)=f(x).$$

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3特例

离散 Fourier 变换

参见: 离散 Fourier 变换

离散 Fourier 变换是有限 Abel 群上的 Fourier 变换.

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Fourier 级数

参见: Fourier 级数

Fourier 级数可以看做圆周 ${\mathbb{T}}^1$ 上函数到 $\mathbb{Z}$ 上函数的变换. 这是局部紧交换群的特例.

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局部域上 Fourier 变换

非 Archimedes 局部域上同样可以做 Fourier 变换.

定义 3.1. 设 $k$ 是一个非 Archimedes 局部域, 令 $\psi$ 是 $k$ 的非平凡加法特征. $f$ 是 $k$ 上绝对可积函数, $dx$ 是 $k$ 上 Haar 测度, 定义 $f$ 的 Fourier 变换为$$\hat{f}(\xi )={\int }_{k}f(x)\overline{\psi (x\xi )}dx.$$

引理 3.2. 令 $\mathcal{O}$ 为 $k$ 的整数环, $\mathfrak{p}$ 为极大理想, $\psi$ 的导子为 ${\mathfrak{f}}_{\psi }$. 则 $\hat{1_{a+{\mathfrak{p}}^l}}(x)=\left({\int }_{{\mathfrak{p}}^l}dx\right)\overline{\psi (ax)}{1}_{{\mathfrak{p}}^{-l}{\mathfrak{f}}_{\psi }}$.

证明. 由定义, $\hat{1_{{\mathfrak{p}}^l}}(\xi )=\overline{\psi (a\xi )}{\int }_{{\mathfrak{p}}^l}\overline{\psi (x\xi )}dx$; 由紧群上的 Schur 引理可知, 当 $\psi (\xi \cdot )$ 在 ${\mathfrak{p}}^l$ 上平凡时, 即 $\xi \in {\mathfrak{p}}^{-l}{\mathfrak{f}}_{\psi }$ 时, $\hat{1_{{\mathfrak{p}}^l}}(\xi )=\overline{\psi (ax)}{\int }_{{\mathfrak{p}}^l}dx$, 否则为 $0$.

$\square$

命题 3.3. 由上面例子可知, 紧支局部常值函数的 Fourier 变换还是紧支局部常值.

命题 3.4. 当 $dx$ 满足 ${\int }_{\mathcal{O}}dx=N({\mathfrak{f}}_{\psi }{)}^{-\frac{1}{2}}$ 时, Fourier 反演公式$$\hat{\hat{f}}(-x)=f(x)$$对任意局部紧支函数成立.

证明. 只用对 $1_{a+{\mathfrak{p}}^l}$ 验证即可, 计算过程类似.

$\square$

4相关概念

•	调和分析
•	Fourier 级数
•	Pontryagin 对偶

术语翻译

Fourier 变换 • 英文 Fourier transform • 德文 Fourier-Transformation • 法文 transformation de Fourier