Riemann 积分

Riemann 积分是定义函数的积分的一种方法. 直观地说, 如果把积分看作函数的图像与坐标轴围成的面积, 那么 Riemann 积分的定义方法是, 将这个围成的区域分割成很窄的纵向细条, 用矩形的面积来代替这些细条的面积, 再把这些矩形的面积加起来.

函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 的 Riemann 积分通常记作$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\in \mathbb{R}.$$

1定义

在这一节中, 我们对函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 定义其 Riemann 积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

定义 1.1 (一般集合的分割). 对任一集合 $A$, 和一下指标集 $I$ 若存在一列集合 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 满足:

 (i) $\forall \alpha ,\beta \in I,A_{\alpha }\cap A_{\beta }=\varnothing$, 即它们两两不交;

 (ii) $\bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }=A$.

那么我们称集类 $\mathcal{A}=\{A_{\alpha }:\alpha \in I\}$ 为集合 $A$ 的一个分割.

定义 1.2 (区间的分割). 区间 $[a,b]$ 的一个分割是指一列实数$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$这些实数将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 段. 如果将这个分割记为 $\mathcal{P}=\{[x_i,x_{i+1}]:0\le i\le n-1\}$, 那么我们也记$$\Vert \mathcal{P}\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1}),$$即分割出的 $n$ 段区间中最长的一段的长度.

定义 1.3 (带标记点的分割). 区间 $[a,b]$ 的一个带标记点的分割由以下信息组成:

•	$[a,b]$ 的一个分割 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ (定义 1.2).
•	对每个 $1\le i\le n$, 有一个实数 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$, 称为标记点.

如果将这个带标记点的分割记为 $\mathcal{P}$, 那么我们也记$$\Vert \mathcal{P}\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1}).$$

定义 1.4 (Riemann 和). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是一个函数, $\mathcal{P}$ 是 $[a,b]$ 的一个带标记点的分割 (定义 1.3). 则 $f$ 关于 $\mathcal{P}$ 的 Riemann 和定义为$$S(f,\mathcal{P})=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}),$$其中 ${\xi }_i$ 是 $\mathcal{P}$ 的标记点.

定义 1.5 (Riemann 积分). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是一个函数. 则 $f$ 的 Riemann 积分定义为下面的极限 (如果存在): $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{[a,b]}f=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(f,\mathcal{P}),$$其中 $\mathcal{P}$ 取遍 $[a,b]$ 的所有带标记点的分割 (定义 1.3), $S(f,\mathcal{P})$ 是 Riemann 和 (定义 1.4). 另外, 若 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的 Riemann 积分存在, 则称 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 记作 $f\in R[a,b]$.

注 1.6. 定义 1.5 中要求 $a<b$, 当 $a\ge b$ 时, 定义其 Riemann 积分值为: $$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f:=-{\int }_b^{a}f\end{array}$$同时由此可得: $\forall a\in \mathbb{R},{\int }_a^{a}f=0$.

注 1.7. 定义 1.5 中的极限虽然不一定存在, 但它的上、下极限一定存在 (可能为 $\pm \infty$), 称为 $f$ 的 Darboux 上积分与 Darboux 下积分: $$\begin{array}{rl}{\overline{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x& =\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\overline{\lim }}S(f,\mathcal{P}),\\ {\underline{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x& =\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\underline{\lim }}S(f,\mathcal{P}).\end{array}$$

2性质

在以下性质叙述中, 我们默认给定函数在给定区间上是 Riemann 可积的.

定理 2.1 (线性性). $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, ${\int }_I(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_{I}f+\beta {\int }_{I}g$.

证明. 由求和与极限的线性性可知, 对与区间 $I$ 的任意划分 $\mathcal{P}$, 当 $\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0$ 时, 有: $$\begin{array}{r}{\int }_I(\alpha f+\beta g)=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(\alpha f+\beta g,\mathcal{P})=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }[\alpha S(f,\mathcal{P})+\beta S(g,\mathcal{P})]=\alpha \underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(f,\mathcal{P})+\beta \underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(g,\mathcal{P})=\alpha {\int }_{I}f+\beta {\int }_{I}g\end{array}$$

$\square$

定理 2.2 (区间可加性). $\forall c\in \mathbb{R}$, ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$.

证明. 当点 $c\in [a,b]$ 时, 不妨假定 $c$ 即为其中一个分点, 并设此时对应区间 $[a,c]$ 和 $[b,c]$ 的分割分别为 ${\mathcal{P}}_1$ 和 ${\mathcal{P}}_2$, 则有: ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2=\varnothing$ 且 ${\mathcal{P}}_1\cup {\mathcal{P}}_2=\mathcal{P}$. 同时注意到 $\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0\Rightarrow \Vert {\mathcal{P}}_1\Vert \to 0$ 且 $\Vert {\mathcal{P}}_2\Vert \to 0$, 则有: $$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(f,\mathcal{P})=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }S(f,{\mathcal{P}}_1\cup {\mathcal{P}}_2)=\underset{\Vert \mathcal{P}\Vert \to 0}{\lim }[S(f,{\mathcal{P}}_1)+S(f,{\mathcal{P}}_2)]=\underset{\Vert {\mathcal{P}}_1\Vert \to 0}{\lim }S(f,{\mathcal{P}}_1)+\underset{\Vert {\mathcal{P}}_2\Vert \to 0}{\lim }S(f,{\mathcal{P}}_2)={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f\end{array}$$当 $c\notin [a,b]$ 时, 不妨设 $c<a$, 则由上述讨论可知: $$\begin{array}{r}{\int }_c^{b}f={\int }_c^{a}f+{\int }_a^{b}f\Rightarrow {\int }_a^{b}f={\int }_c^{b}f-{\int }_c^{a}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f\end{array}$$综上所述, $\forall c\in \mathbb{R}$, 区间可加性成立.

$\square$

(...)

3可积的条件

(...)

4相关概念

•	反常积分
•	Lebesgue 积分 术语翻译 Riemann 积分 • 英文 Riemann integral • 法文 intégrale de Riemann