Riemann 积分

Riemann 积分是定义函数的积分的一种方法. 直观地说, 如果把积分看作函数的图像与坐标轴围成的面积, 那么 Riemann 积分的定义方法是, 将这个围成的区域分割成很窄的纵向细条, 用矩形的面积来代替这些细条的面积, 再把这些矩形的面积加起来.

函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 的 Riemann 积分通常记作$${\int }_a^{b}f(x)dx\in \mathbb{R}.$$

1定义

在这一节中, 我们对函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 定义其 Riemann 积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$.

定义 1.1 (分割). 区间 $[a,b]$ 的一个分割是指一列实数$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$这些实数将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 段. 如果将这个分割记为 $P$, 那么我们也记$$\Vert P\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1}),$$即分割出的 $n$ 段区间中最长的一段的长度.

定义 1.2 (带标记点的分割). 区间 $[a,b]$ 的一个带标记点的分割由以下信息组成:

•	$[a,b]$ 的一个分割 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ (定义 1.1).
•	对每个 $1\le i\le n$, 有一个实数 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$, 称为标记点.

如果将这个带标记点的分割记为 $P$, 那么我们也记$$\Vert P\Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1}).$$

定义 1.3 (Riemann 和). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是一个函数, $P$ 是 $[a,b]$ 的一个带标记点的分割 (定义 1.2). 则 $f$ 关于 $P$ 的 Riemann 和定义为$$S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}),$$其中 ${\xi }_i$ 是 $P$ 的标记点.

定义 1.4 (Riemann 积分). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是一个函数. 则 $f$ 的 Riemann 积分定义为下面的极限 (如果存在): $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }S(f,P),$$其中 $P$ 取遍 $[a,b]$ 的所有带标记点的分割 (定义 1.2), $S(f,P)$ 是 Riemann 和 (定义 1.3).

注 1.5. 定义 1.4 中的极限虽然不一定存在, 但它的上、下极限一定存在 (可能为 $\pm \infty$), 称为 $f$ 的 Darboux 上积分与 Darboux 下积分: $$\begin{array}{rl}{\overline{\int }}_a^{b}f(x)dx& =\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\overline{\lim }}S(f,P),\\ {\underline{\int }}_a^{b}f(x)dx& =\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\underline{\lim }}S(f,P).\end{array}$$

2性质

线性性

(...)

可积的条件

(...)

3相关概念

•	反常积分
•	Lebesgue 积分 术语翻译 Riemann 积分 • 英文 Riemann integral • 法文 intégrale de Riemann