函数

本文介绍的是数学中的广泛概念. “函数” 有时用作 “映射 (集合论)” 的同义词, 但这不是本文的主题.

函数是一种广泛的概念, 常常指空间到数集的映射. 这里, 空间、数、映射的具体含义取决于具体情况. 例如:

•	在分析学中, 区域 $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的函数常常指映射 $f:X\to \mathbb{R}$. 有时也会考虑这一概念的推广, 例如广义函数.

•	在线性代数中, 考虑域 $k$ 上的向量空间 $V$. 则 $V$ 上的函数常常指线性函数, 即线性映射 $f:V\to k$.

•	在拓扑学中, 拓扑空间 $X$ 上的函数常常指连续映射 $f:X\to \mathbb{R}$.

•	在微分几何中, 光滑流形 $X$ 上的函数常常指光滑函数, 即光滑映射 $f:X\to \mathbb{R}$.

•	在代数几何中, 考虑域 $k$ 上的代数簇 $X$. 则 $X$ 上的函数是其结构层的截面, 这对应了态射 $X\to {\mathbb{A}}_k^1$.

术语翻译

函数 • 英文 function • 德文 Funktion (f) • 法文 fonction (f)