量子力学

量子力学是描述微观粒子运动规律的学科. 量子力学可以使用数学语言严格公理化, 它的公理大致分为三部分: 系统状态、力学量、演化.

量子力学与经典力学对系统状态的描述不同. 经典力学框架下一个粒子处在一个确定的位置, 有一个确定的速度. 量子力学框架下粒子状态则由一个空间上的函数表示, 即所谓波函数. 它在每一点都有可能非零, 表示粒子的位置在空间中飘忽不定. 粒子的所有可能状态构成的空间, 即构形空间, 是一个 Hilbert 空间.

量子力学和经典力学对力学量的描述也不同. 在经典力学中力学量是构形空间上的函数, 取此函数在某个粒子状态对应的点的取值即得出相应力学量的值. 量子力学中力学量则是 Hilbert 空间上的算子, 它并没有固定的取值, 只有当系统状态为此算子的特征向量时, 才可以说力学量取相应的特征值.

量子力学中由 Schrödinger 方程描述系统的演化.

1历史

(...)

2形式化

量子力学的公理如下.

公理 (态). 系统的所有可能状态处在某个 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中, 系统的状态由其中某个向量表示, 称为态, 两个向量 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 表示相同的状态, 如果存在 $c\in \mathbb{C}$ 使得 ${\psi }_1=c{\psi }_2$ 成立. 一般来说, 我们谈论的态均要归一化, 即满足 $|\psi {|}^2=1$ 的条件.

例 2.1. 例如, ${\mathbb{R}}^n$ 中单粒子系统对应的 Hilbert 空间可为 $\mathcal{H}=L^2({\mathbb{R}}^n)$. 此时系统状态由某个函数, 称为波函数来描述, 粒子不再具有确定的位置, 而是相当于弥散在空间各处. 此时 $m$ 个全同 Bose 子对应的 Hilbert 空间为对称积 ${\mathrm{Sym}}^m(\mathcal{H})$.

公理 (量子化). 对一个力学量, 即系统经典相空间上的一个函数, 存在 $\mathcal{H}$ 上某个自伴算子 (未必有界) $\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 与之对应, 称为它的量子化. 对力学量 $f$, 其对应算符记为 $\hat{f}$.

例 2.2. 在上述单粒子系统中, 粒子位置的第 $k$ 个坐标为力学量, 其对应的算符为 $\psi (x)\mapsto x_k\psi (x)$; 粒子动量的第 $k$ 个坐标为力学量, 其对应的算符为 $\psi (x)\mapsto -\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x_k}\psi (x)$.

定义 2.3 (本征态). 对力学量 $f$, 其本征态为 $\hat{f}$ 在 $\mathcal{H}$ 中的 (广义) 特征向量, 即 $\psi \in \mathcal{H}$ 使得$$\hat{f}\psi =c\psi .$$此时称 $f$ 具有确定值 $c$, 此特征值也被称为本征值.

例 2.4. 紧接上例, 对 $x_0\in {\mathbb{R}}^n$, $\delta$ 函数 $\delta (x-x_0)$ 是所有坐标函数对应的算符 $\widehat{x_1},\dots ,\widehat{x_n}$ 的共同本征态, 相应本征值为 $x_0$ 的 $n$ 个坐标 $x_{01},\dots ,x_{0n}$. 此时相当于粒子具有确定的位置.

注 2.5. 这里广义的向量是指可能不在此 Hilbert 空间里的向量, 却可以在一定意义下被添加至此 Hilbert 空间中, 例如上例中的 $\delta$ 函数.

公理 (演化). 系统的演化由如下方程, 称为 Schrödinger 方程决定: $$\mathrm{i}\hslash \frac{d\psi }{dt}=\hat{H}\psi ,$$其中 $H$ 为系统在经典意义下的 Hamilton 量.

公理 (测量). 在一次对某个 (或某一组使相应算符交换的) 力学量的测量后, 系统的态变为这个力学量的某个本征态, 测量值为相应本征值. 设系统原来的态为 $\phi$, 测量后态变为 $\psi$ 的概率正比于 $⟨\phi ,\psi {⟩}^2$.

例 2.6. 在上述单粒子系统中, 测量粒子的位置后, 粒子便有了确定的位置, 系统的态即变为 $\delta$ 函数 $\delta (x-x_0)$, 其中 $x_0$ 即为测量出的位置.

3数学结构

(谈一谈算子构成的代数结构...)

4相关概念

•	量子场论
•	经典力学
•	量子化
•	路径积分
•	波粒二象性
•	不确定性原理

术语翻译

量子力学 • 英文 quantum mechanics • 德文 Quantenmechanik • 法文 mécanique quantique • 拉丁文 mechanica quantica • 古希腊文 ποσικὴ μηχανική

态 • 英文 state • 德文 Zustand (m) • 法文 état (m) • 拉丁文 status (m) • 古希腊文 κατάστασις (f)