Siegel 定理 (L 函数)

Siegel 定理给出实特征 Dirichlet $L$ 函数在 $s=1$ 处的下界估计, 并由此得到虚二次域类数的下界.

1陈述与证明

定理 1.1 (Siegel). 对于所有的 $\epsilon >0$ 均存在 $C(\epsilon )>0$ 使得对于所有只取实值的模 $q$ 原特征 $\chi$, 均有: $$L(1,\chi )>C(\epsilon )q^{-\epsilon }$$

用类数公式, 它立即给出如下推论, 解决 Gauss 提出的类数问题. 此界是非实效结论中最佳者.

推论 1.2. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $c(\epsilon )>0$, 满足判别式为 $-D$ 的虚二次域的类数 $h(-D)$ 不小于 $c(\epsilon )D^{1/2-\epsilon }$. 特别地, ${\lim }_{D\to +\infty }h(-D)=+\infty$.

2历史

定理 1.1 源于 1935 年 Siegel 对二次域类数的研究 [Sie35]. 后来 Estermann [Est40] 和 Goldfeld [Gol74] 各自给出了这个结论的纯解析数论证明, 后者还对其进行了大幅简化. 刘子灏 [Liu22] 于 2022 年 1 月给出了另一个解析证明.

3非实效性

这一段最后放在证明里面

不幸的是, 定理 1.1 仅仅是说明了 $C(\epsilon )$ 的存在性. 时至今日 $C(\epsilon )$ 在 $\epsilon <\frac{1}{2}$ 时仍然没有计算方法. 这意味着 Siegel 定理的许多推论涉及的常数都无法被实效计算出来. 而这是因为其推导过程中用到了这样一个关键的引理:

引理 3.1. 对于每个 $\epsilon >0$ 均存在一个 $1-\epsilon <\beta <1$ 和一个只取实值的原特征 ${\chi }_1$ 使得当$$f(s)=\zeta (s)L(s,{\chi }_1)L(s,{\chi }_2)L(s,{\chi }_1{\chi }_2)$$时 $f(\beta )\le 0$ 对于一切实值原特征 ${\chi }_2$ 均成立.

证明. 倘若存在实值原特征 $\chi$ 使 $L(s,\chi )$ 在 $1-\epsilon <s<1$ 有根 $\beta$, 因此设置 ${\chi }_1=\chi$ 便可发现 $f(\beta )=0$ 对于一切实值原特征 ${\chi }_2$ 均成立.

另一方面, 假如不存在实值原特征 $\chi$ 使 $L(s,\chi )$ 在 $1-\epsilon <s<1$ 内有零点, 则对于任意一个 $1-\epsilon <\beta <1$, 根据 $\zeta (\beta )<0$ 可知对于所有的实值原特征 ${\chi }_2$ 均有 $f(\beta )<0$.

$\square$

注 3.2. 我们可以发现这个推导仅仅用分类讨论的方式说明了 $\beta$ 和 ${\chi }_1$ 的存在性而没有对两者进行构造. 这也解释了为何 Siegel 定理是非实效的.

4应用

通过一些手段, 我们可以将 Siegel 定理化为关于 Dirichlet $L$ 函数非零区域的结论, 从而用于探究等差数列上的素数分布:

定理 4.1. 对于每个 $\epsilon >0$ 存在常数 $C(\epsilon )>0$ 使得对于所有的模 $q$ 实值原特征 $\chi$, 其对应的 $L(s,\chi )$ 在 $s>1-C(\epsilon )q^{-\epsilon }$ 时无零点.

利用定理 4.1, Walfisz [Wal36] 证明了带余项的 Dirichlet 素数定理:

定理 4.2 (Siegel-Walfisz). 对于所有的 $A>0$ 和 $(a,q)=1$ 均有: $$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{Li}(x)}{\phi (q)}+O\left(\frac{x}{{\log }^{A}x}\right)$$其中 $\pi (x;q,a)$ 表示 $\le x$ 且 $\equiv a(\mathrm{mod}q)$ 的素数个数, $\mathrm{Li}$ 表示对数积分函数, 误差项中的隐含常数仅与 $A$ 有关.

5相关概念

•	Dirichlet $L$ 函数
•	Dedekind $\zeta$ 函数
•	类数问题
•	Landau–Siegel 零点

参考文献

[Dav80]	Davenport, H. (1980). Multiplicative Number Theory (Vol. 74). Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5927-3
[Est40]	Estermann, T. (1948). On Dirichlet’s L Functions. Journal of the London Mathematical Society, s1-23(4), 275–279. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-23.4.275
[Gol74]	Goldfeld, D. M. (1974). A Simple Proof of Siegel’s Theorem. Proceedings of the National Academy of Sciences, 71(4), 1055–1055. https://doi.org/10.1073/pnas.71.4.1055
[Liu22]	刘子灏 (2022). A Simple Proof of Siegel’s Theorem Using Mellin Transform. https://arxiv.org/abs/2202.00635
[Mon07]	Montgomery, H. L., & Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative number theory I: Classical theory. Cambridge University Press.
[Sie35]	Siegel, C. (1935). Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper. Acta Arithmetica, 1(1), 83–86.
[Wal36]	Walfisz, A. (1936). Zur additiven Zahlentheorie. II. Mathematische Zeitschrift, 40(1), 592–607. https://doi.org/10.1007/BF01218882

术语翻译

Siegel 定理 • 英文 Siegel’s theorem • 德文 Satz von Siegel • 法文 théorème de Siegel