Dedekind ζ 函数

Dedekind $\mathbf{\zeta }$ 函数是 Riemann $\zeta$ 函数在一般数域上的推广, 正如 Riemann $\zeta$ 函数是自然数的幂方和, Dedekind $\zeta$ 函数是数域的整数环的理想的范数的幂方和, 以反映数域的信息.

1定义

定义 1.1. 对数域 $K$, 其 Dedekind $\zeta$ 函数是下述在 $\Re (s)>1$ 时绝对收敛的级数$${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subset {\mathcal{O}}_K}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(I{)}^s}$$(其中 $I$ 取遍 $K$ 整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 的所有非零理想) 在 $\mathbb{C}$ 上的解析延拓, 它是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.

注 1.2. 在取 $K=\mathbb{Q}$ 时, Dedekind $\zeta$ 函数即为 Riemann $\zeta$ 函数.

2性质

记号. 我们在下面的叙述中采用如下记号: 对数域 $K$,

•	${\mathcal{O}}_K$ 是 $K$ 的整数环;
•	$r_1$ 为 $K$ 的实位点的个数;
•	$r_2$ 为 $K$ 的复位点的个数;
•	${\Delta }_K$ 为 $K$ 的判别式;
•	$C(K)$ 为 $K$ 的类群;
•	$h(K)$ 为 $K$ 的类数;
•	$U_K$ 为 $K$ 的单位群;
•	$R(K)$ 为 $K$ 的调节子;
•	$w(K)$ 为 $K$ 中单位根个数.

其它形式

命题 2.1. Dedekind $\zeta$ 函数可表为如下的无穷乘积形式: $${\zeta }_K(s)=\prod _{\mathfrak{p}\in {\mathcal{O}}_K}\frac{1}{1-N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}{)}^{-s}},$$其中 $\mathfrak{p}$ 取遍 ${\mathcal{O}}_K$ 的所有素理想.

命题 2.2. 设 $C$ 为 $K$ 的任意理想类, 定义$$\zeta (C,s)=\sum _{I\in C}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(I{)}^s}=N_{K/\mathbb{Q}}(J{)}^s\sum _{a\in J^{\ast }/U_K}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(a{)}^s}.$$其中 $J$ 为 $C^{-1}$ 中任意整理想. 则$${\zeta }_K(s)=\sum _{C\in C(K)}\zeta (C,s).$$

函数方程

命题 2.3. 对数域 $K$, 记$${\Gamma }_{\mathbb{R}}(s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\Gamma (\frac{s}{2})$$$${\Gamma }_{\mathbb{C}}(s)=2(2\pi {)}^{-s}\Gamma (s)$$($\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 函数), 则$${\Lambda }_K(s)=|{\Delta }_K{|}^{\frac{s}{2}}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s{)}^{r_1}{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s{)}^{r_2}{\zeta }_K(s)$$可延拓至 $\mathbb{C}$ 上, 且满足$$\Lambda (s)=\Lambda (1-s).$$

特殊值

参见: 类数公式

命题 2.4 (类数公式). ${\zeta }_K(s)$ 在 $1$ 处有单极点, 且有渐进行为$$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}R(K)h(K)}{w(K)|{\Delta }_K{|}^{\frac{1}{2}}}.$$

命题 2.5. ${\zeta }_K(s)$ 在 $s=0$ 处的零点重数 $r$ 为 $K$ 的单位群的秩, 且有渐进行为$$\underset{s\to 0}{\lim }{s}^{-r}{\zeta }_K(s)=-\frac{h(K)R(K)}{w(K)}.$$

互反律

(...)

3例子

•	令 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, 则 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 为主理想整环, 而单位群的生成元为 $1+\sqrt{2}$. 因此$${\zeta }_K(s)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{a_n}{n^s}.$$其中 $a_n$ 为 $a^2-2b^2=n$ 模掉单位的整数解个数.

4相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Artin $L$ 函数