Dedekind ζ 函数

Dedekind $\mathbf{\zeta }$ 函数是 Riemann $\zeta$ 函数在一般数域上的推广, 正如 Riemann $\zeta$ 函数是自然数的幂方和, Dedekind $\zeta$ 函数是数域的整数环的理想的范数的幂方和, 以反映数域的信息.

1定义

定义 1.1. 对数域 $K$, 其 Dedekind $\zeta$ 函数是下述在 $\Re (s)>1$ 时绝对收敛的级数$${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subset {\mathcal{O}}_K}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(I{)}^s}$$(其中求和表示 $I$ 取遍 $K$ 整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 的所有非零理想) 在 $\mathbb{C}$ 上的解析延拓, 它是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.

注 1.2. 在取 $K=\mathbb{Q}$ 时, Dedekind $\zeta$ 函数即为 Riemann $\zeta$ 函数. 这是因为 $\mathbb{Q}$ 的整数环 $\mathbb{Z}$ 的非零理想都形如 $n\mathbb{Z}$, 其中 $n$ 是正整数.

2性质

记号. 我们在下面的叙述中采用如下记号: 对数域 $K$,

•	${\mathcal{O}}_K$ 是 $K$ 的整数环;
•	$r_1$ 为 $K$ 的实位点的个数, 即 $i:K\to \mathbb{R}$ 的嵌入数量;
•	$r_2$ 为 $K$ 的复位点的个数, 即 $i:K\to \mathbb{C}$ 且 $i(K)\not\subset \mathbb{R}$ 的嵌入共轭对的数量;
•	${\Delta }_K$ 为 $K$ 的判别式;
•	$C(K)$ 为 $K$ 的类群;
•	$h(K)$ 为 $K$ 的类数, 即类群的阶数 $\#C(K)$;
•	$U_K$ 为 $K$ 的单位群, 即 ${\mathcal{O}}_K^{\times }$ 在乘法下构成的群;
•	$R(K)$ 为 $K$ 的调节子;
•	$w(K)$ 为 $K$ 中单位根个数.

其它形式

类比 Riemann $\zeta$ 函数的 Euler 乘积, 借助 ${\mathcal{O}}_K$ 作为 Dedekind 整环上的素理想唯一分解以及理想范数的乘性, 得到如下公式. 这便体现出对理想求和代替元素求和的优势.

命题 2.1 (Euler 乘积). 对 $\Re s>1$, Dedekind $\zeta$ 函数可表为如下的无穷乘积形式: $${\zeta }_K(s)=\prod _{\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K}\frac{1}{1-N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}{)}^{-s}},$$$\mathfrak{p}$ 取遍 ${\mathcal{O}}_K$ 的所有素理想.

此外可将对全体 $I\subset {\mathcal{O}}_K$ 求和分类为对每个理想类 $I\in C$ 的 $I$ 分别求和, 得到如下公式.

命题 2.2. 对 $\Re s>1$, 设 $C$ 为 $K$ 的任意理想类, 定义$$\zeta (C,s)=\sum _{I\in C}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(I{)}^s}=N_{K/\mathbb{Q}}(J{)}^s\sum _{a\in J^{\ast }/U_K}\frac{1}{N_{K/\mathbb{Q}}(a{)}^s}.$$其中 $J$ 为 $C^{-1}$ 中任意整理想, $J^{\ast }/U_K$ 表示理想 $J$ 中非零元素模 $U_K$ 下的等价类, 给定 $J^{\ast }/U_K$ 类, 其每个代表元都具有相同的范数.

那么, Dedekind $\zeta$ 函数可表为如下的求和形式: $${\zeta }_K(s)=\sum _{C\in C(K)}\zeta (C,s).$$

只需注意到对 $I\in C$ 求和相当于对形如 $IJ$ 的全体主理想求和, 而 $IJ$ 的生成元恰遍历了 $J$ 中非零元, 其中生成元的 $U_K$ 等价类不改变生成的理想.

注 2.3. 上述 $\zeta (C,s)$ 的第二个等号将对理想求和转化为对理想中的元素求和, 考虑 $K=\mathbb{Q}$ 为例, 因为 $\mathbb{Z}$ 是主理想整环, 取 $J=(1)$ 于是 $\zeta (s)=\zeta ([(1)],s)$ 变为对全体 $n\in {\mathbb{Z}}^{\ast }/\pm 1$ 求和 $|n{|}^{-s}$. 重新得到了 Riemann $\zeta$ 函数.

另外, 注意类数有限, 所以关于 $C\in C(K)$ 的求和是一个有限和.

函数方程

命题 2.4. 对数域 $K$, 记$${\Gamma }_{\mathbb{R}}(s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\Gamma (\frac{s}{2})$$$${\Gamma }_{\mathbb{C}}(s)=2(2\pi {)}^{-s}\Gamma (s)$$($\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 函数), 则$${\Lambda }_K(s)=|{\Delta }_K{|}^{\frac{s}{2}}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s{)}^{r_1}{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s{)}^{r_2}{\zeta }_K(s)$$可延拓至 $\mathbb{C}$ 上, 且满足$$\Lambda (s)=\Lambda (1-s).$$

比较方便的证明来自 Tate 论题的整体版本, 其核心技术概括如下.

函数方程证明梗概. 对于 $f:{\mathbb{A}}_K\to \mathbb{C}$ 的一个 Schwarz 函数, 如果它是局部上诸 $f_v:K_v\to \mathbb{C}$ 的乘积, 其中除了有限多个 $v$ 以外剩下的 $f_v=1_{{\mathcal{O}}_v}$. 那么便得到 $\zeta$ 因子的乘积公式$$Z(f,s)=\prod _v{Z}_v(f_v,s),$$进而$$\frac{Z(f,s)}{L(s)}=\prod _v\frac{Z_v(f_v,s)}{L_v(s)}.$$这里 $L(s)={\prod }_v{L}_v(s)$. 它在 $\Re s>1$ 时绝对收敛. 现在对左式作 Fourier 变换得到$$\prod _v{\gamma }_v(s)\frac{Z_v({\hat{f}}_v,1-s)}{L_v(1-s)}.$$这将在整体上给出$$\frac{Z(f,s)}{L(s)}=\gamma (s)\frac{Z(\hat{f},1-s)}{L(1-s)}.$$这里 $\gamma (s)={\prod }_v{\gamma }_v(s)$. 出于完全不同的原因 (计算中使用了类似 Poisson 求和公式的技术), 整体上我们也有 $Z(f,s)=Z(\hat{f},1-s)$. 于是我们得到$$L(1-s)=\gamma (s)L(s).$$其中 $\gamma (s)=|{\Delta }_K{|}^{s-1/2}$, 因为 ${\gamma }_v(s)$ 在局部上统计了全体分歧. 进而我们可以写出更对称的形式$$L(1-s)|{\Delta }_K{|}^{(1-s)/2}=L(s)|{\Delta }_K{|}^{s/2}.$$最后计算 $L$ 函数, 它是全体局部的 $L$ 因子的乘积, 由此可知$$L(s)={\Gamma }_{\mathbb{R}}(s{)}^{r_1}{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s{)}^{r_2}\prod _{\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K}(1-N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}{)}^{-s}{)}^{-1},$$根据 Euler 乘积即可得到命题的最终形式.

$\square$

特殊值

参见: 类数公式

命题 2.5 (类数公式). ${\zeta }_K(s)$ 在 $1$ 处有单极点, 且有渐进行为$$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}R(K)h(K)}{w(K)|{\Delta }_K{|}^{\frac{1}{2}}}.$$

通过函数方程, 我们可以将 $s=0,1$ 处 ${\zeta }_K$ 的行为相联系, 于是得到如下重要推论.

推论 2.6. ${\zeta }_K(s)$ 在 $s=0$ 处的零点重数 $r$ 为 $K$ 的单位群的秩 $\mathrm{rk}{U}_K=r_1+r_2-1$, 且有渐进行为$$\underset{s\to 0}{\lim }{s}^{-r}{\zeta }_K(s)=-\frac{h(K)R(K)}{w(K)}.$$

互反律

(...)

3例子

•	对 $K=\mathbb{Q}$, 熟知它在 $s=0,1$ 附近有: $$\zeta (s)=-\frac{1}{2}+O(s),\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+O(1).$$代入 $r_1=1,r_2=0,R=1,h=1,w=2,\Delta =1$, 发现类数公式给出一致的结果.

•

令 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, 则 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, 它是主理想整环, 单位群为 $\{\pm 1\}\times (1+\sqrt{2}{)}^{\mathbb{Z}}$, ${\Delta }_K=8$. 对素数 $p$, 局部 $\zeta$ 函数$${\zeta }_{K,p}(s):=\prod _{\mathfrak{p}\mid p}\frac{1}{1-N_{K/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}{)}^{-s}}$$与 $p$ 的分歧, 分裂情况有关, 也就是要考虑 $x^2-2$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 上的分解. 可以算出$${\zeta }_{K,p}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-\chi (p)p^{-s})}$$其中 $\chi (p)=\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$ (如 $p=2$ 则 $\chi (p)=0$). 因此如下互反律成立. $${\zeta }_K(s)=\zeta (s)L(\chi ,s).$$ 通过类数公式可以算出 $(s-1){\zeta }_K(s)$ 在 $1$ 处取值为 $\frac{\log (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}$. 可得$$L(\chi ,1)=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\log (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}$$

4相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Artin $L$ 函数