Steinberg 关系

Steinberg 关系是母题上同调等上同调理论中 $1$ 次生成元之间的一类关系, 形如 $[a][1-a]=0$.

1定义

定义 1.1. 设 $F$ 是域, $H$ 是环 (未必交换), 带有映射 $[\cdot ]:F^{\times }\to H$, 是 $F$ 的乘法群到 $H$ 的加法群的同态. 称 $(H,[\cdot ])$ 满足 Steinberg 关系, 指对任意 $a\in F\setminus \{0,1\}$, $[a][1-a]=0$.

注 1.2. 定义 1.1 相当于说, $F^{\times }$ 的张量代数 $T(F^{\times })$ 到 $H$ 的自然同态穿过 Milnor $K$ 理论, 得到同态 $K^M(F)\to H$. 如 $H$ 是分次环, $[\cdot ]$ 把 $F^{\times }$ 打到 $H_1$, 则 $K^M(F)\to H$ 是分次同态.

2母题同伦论中

对 ${\mathbb{A}}^1$-不变的上同调理论, 可用母题同伦论的方法, 从如下一般命题推出 Steinberg 关系.

定理 2.1. 设 $S$ 是概形, 以 ${\mathsf{H}}_{\ast }(S)$ 记带基点 Zariski 局部母题同伦范畴, 即 ${\mathsf{H}}_{\ast }(S)={\mathsf{Sh}}_{\mathrm{Zar},{\mathbb{A}}^1}({\mathsf{Sm}}_S{)}_{\ast }$. 考虑其中映射$$\mathfrak{st}:({\mathbb{A}}^1\setminus \{0,1\}{)}_{+}\to {\mathbb{G}}_m^{\wedge 2}$$$$a\mapsto (a,1-a)$$其中 ${\mathbb{G}}_m$ 的基点是 $1$. 则其纬悬 $\Sigma (\mathfrak{st}):\Sigma (({\mathbb{A}}^1\setminus \{0,1\}{)}_{+})\to \Sigma ({\mathbb{G}}_m^{\wedge 2})$ 零伦.

证明. 我们给 ${\mathbb{G}}_m^{\wedge 2}$ 找个模型. 考虑$$B={\mathrm{Bl}}_{(1,0),(0,1)}({\mathbb{A}}^2)\setminus ({\mathbb{A}}^1\times 0\cup 0\times {\mathbb{A}}^1),$$这里去掉的是 ${\mathbb{A}}^1\times 0$ 和 $0\times {\mathbb{A}}^1$ 的严格变换. 由于 ${\mathbb{A}}^1$ 可缩, $${\mathbb{G}}_m^{\wedge 2}=\frac{{\mathbb{G}}_m^2}{{\mathbb{G}}_m\times 1{\bigsqcup }_{1\times 1}1\times {\mathbb{G}}_m}={\mathbb{A}}^1\times 1{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m\times 1}{\mathbb{G}}_m^2{\bigsqcup }_{1\times {\mathbb{G}}_m}1\times {\mathbb{A}}^1,$$含入映射 ${\mathbb{A}}^1\times 1\to B$、$1\times {\mathbb{A}}^1\to B$ 给出映射 ${\mathbb{G}}_m^{\wedge 2}\to B$.

注意 $\mathfrak{st}$ 复合该映射之后零伦, 因为此复合映射可分解为$$({\mathbb{A}}^1\setminus \{0,1\}{)}_{+}\to {\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_1{\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_0{\mathbb{A}}^1\cong \ast \to B,$$其中 ${\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_1{\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_0{\mathbb{A}}^1$ 的基点是第三个 ${\mathbb{A}}^1$ 的 $1$, ${\mathbb{A}}^1\setminus \{0,1\}$ 沿第一个 ${\mathbb{A}}^1$ 含入 ${\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_1{\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_0{\mathbb{A}}^1$, 而第二个箭头在三个 ${\mathbb{A}}^1$ 上分别是$$(a,1-a),(x-1)+ay=0,(1,a),$$这里把 $(1,0)$ 处例外除子上的点等同于 ${\mathbb{A}}^2$ 中过 $(1,0)$ 的直线.

所以只需证上述映射 ${\mathbb{G}}_m^{\wedge 2}\to B$ 的纬悬是同构. 令$$U={\mathrm{Bl}}_{(1,0)}({\mathbb{G}}_m\times {\mathbb{A}}^1)\setminus {\mathbb{G}}_m\times 0,V={\mathrm{Bl}}_{(0,1)}({\mathbb{A}}^1\times {\mathbb{G}}_m)\setminus 0\times {\mathbb{G}}_m,$$则 $B=U{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m^2}V$. 故只需证自然映射$${\mathbb{G}}_m^2{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m\times 1}{\mathbb{A}}^1\times 1\to U,{\mathbb{G}}_m^2{\bigsqcup }_{1\times {\mathbb{G}}_m}1\times {\mathbb{A}}^1\to V$$的纬悬是同构. 两个映射道理完全一样, 故只需对第一个证明. 注意 ${\mathbb{G}}_m\times {\mathbb{A}}^1{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m\times 1}{\mathbb{A}}^1\times 1$ 可缩, 故 $\Sigma ({\mathbb{G}}_m^2{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m\times 1}{\mathbb{A}}^1\times 1)=({\mathbb{G}}_m\times {\mathbb{A}}^1)/{\mathbb{G}}_m^2$; 类似地 ${\mathrm{Bl}}_{(1,0)}({\mathbb{A}}^2)\setminus {\mathbb{A}}^1\times 0\cong {\mathbb{A}}^2$ 可缩, 故 $\Sigma U=({\mathrm{Bl}}_{(1,0)}({\mathbb{A}}^2)\setminus {\mathbb{A}}^1\times 0)/U$; 最后注意 ${\mathbb{G}}_m\times {\mathbb{A}}^1$ 和 $U$ 构成 ${\mathrm{Bl}}_{(1,0)}({\mathbb{A}}^2)\setminus {\mathbb{A}}^1\times 0$ 的开覆盖, 交集正是 ${\mathbb{G}}_m^2$, 所以 $\Sigma ({\mathbb{G}}_m^2{\bigsqcup }_{{\mathbb{G}}_m\times 1}{\mathbb{A}}^1\times 1)\cong \Sigma U$.

$\square$

推论 2.2. 记号承定理 2.1. 则 $\mathfrak{st}$ 在稳定母题同伦范畴 $\mathsf{SH}(S)$ 中零伦. 因此, ${\mathbb{A}}^1$-不变的上同调理论都满足 Steinberg 关系.

术语翻译

Steinberg 关系 • 英文 Steinberg relation