Milnor K 理论

Milnor $\mathbf{K}$ 理论是域的不变量, 由 John Milnor 定义, 是定义高阶代数 $K$ 理论的一次尝试. 虽然 Milnor $K$ 理论最终被认为不是好的高阶 $K$ 理论定义, 但它可以打到高阶 $K$ 群, 且与二次型、Galois 上同调、母题上同调都有联系.

1定义

定义 1.1. 设 $F$ 是域. $F$ 的 Milnor $\mathbf{K}$ 理论, 记作 $K^M(F)$, 指分次环$$K_{\bullet }^M(F)=\frac{T^{\bullet }(F^{\times })}{([a]\otimes [1-a]{)}_{a\in F^{\times }\setminus 1}},$$其中 $T^{\bullet }(F^{\times })$ 指乘法群 $F^{\times }$ 作为 $\mathbb{Z}$-模的张量代数, $([a]\otimes [1-a]{)}_{a\in F^{\times }\setminus 1}$ 指所有形如 $[a]\otimes [1-a]\in F^{\times }\otimes F^{\times }$ 的元素生成的双边理想. 这显然是齐次理想, 故商环仍是分次环. 对 $n\in \mathbb{N}$, $F$ 的 $\mathbf{n}$ 阶 Milnor $\mathbf{K}$ 理论, 记作 $K_n^M(F)$, 指的是 $K_{\bullet }^M(F)$ 的 $n$ 次部分.

注 1.2. 定义 1.1 中的关系 $[a]\otimes [1-a]=0$ 常称为 Steinberg 关系.

2性质

本节中固定域 $F$.

命题 2.1. $K_0^M(F)=\mathbb{Z}$, $K_1^M(F)=F^{\times }$.

证明. 这是因为定义 1.1 中商去的理想由二次的元素生成, 故没有零次与一次部分.

$\square$

以下对 $a\in F^{\times }$, 以 $[a]$ 记 $K_1^M(F)$ 中的对应元素.

命题 2.2. 对任意 $a\in F^{\times }$, $[a][-a]=0$.

证明. $a=1$ 时 $[a]=0$. $a\ne 1$ 时由 $-a=(1-a)(1-a^{-1}{)}^{-1}$ 知$$\begin{array}{rl}[a][-a]& =[a]([1-a]-[1-a^{-1}])\\ & =[a][1-a]+[a^{-1}][1-a^{-1}]=0.\end{array}$$

$\square$

推论 2.3. 对任意 $a,b\in F^{\times }$, $[a][b]+[b][a]=0$. 从而 $K_{\bullet }^M(F)$ 分次交换, 即对 $x\in K_m^M(F)$, $y\in K_n^M(F)$, $[x][y]=(-1{)}^{mn}[y][x]$.

证明. 第一句话是因为$$\begin{array}{rl}0& =[ab][-ab]\\ & =[a][-ab]+[b][-ab]\\ & =[a][-a]+[a][b]+[b][a]+[b][-b]\\ & =[a][b]+[b][a].\end{array}$$第二句话是因为 $K_{\bullet }^M(F)$ 由 $K_1^M(F)=F^{\times }$ 生成.

$\square$

3例子

4与平展上同调的关系

以下定理由 Voevoedsky、Rost 等人证明.

定理 4.1 (范数剩余同构). 对在域 $F$ 中可逆的正整数 $r$, 有典范的分次同构$$K_n^M(F)/r\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(F,{\mu }_r^{\otimes n}),$$且关于 $F$ 自然. 这里 ${\mu }_r=\ker (r:{\mathbb{G}}_m\to {\mathbb{G}}_m)$ 指 $r$ 次单位根群.

5与母题上同调的关系

以下定理由 Nesterenko–Suslin 和 Totaro 独立证明.

定理 5.1. 有典范、关于域 $F$ 自然的分次同构$$K_n^M(F)=H^n(F,\mathbb{Z}(n)),$$其中等号右边是母题上同调.

6相关概念

•	Steinberg 关系
•	范数剩余同构
•	Quillen–Lichtenbaum 猜想

术语翻译

Milnor $K$ 理论 • 英文 Milnor $K$-theory