van der Corput 差分定理

Van der Corput 差分定理是一致分布理论中的定理, 说的是如实数列 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 的差分数列 $\{a_{n+d}-a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 对任意正整数 $d$ 都模 $1$ 一致分布, 则 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 本身也模 $1$ 一致分布.

1陈述

设 $G$ 是交换的紧群, 最典型的情形为 $G=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

定理 1.1. 设 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 $G$ 中点列. 如对任意正整数 $d$, $\{a_{n+d}-a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 在 $G$ 中一致分布, 则 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 本身也在 $G$ 中一致分布.

2证明

由 Weyl 判别法, 只需证明以下命题:

命题 2.1. 设 $\{z_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是各项模长不超过 $1$ 的复数列, 且对任意正整数 $d$ 满足$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_{n+d}\overline{z_n}=0;$$则$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_n=0.$$

证明. 由于对任意 $D\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $$\underset{N\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_n-\frac{1}{DN}\sum _{n=1}^N\sum _{d=1}^D{z}_{n+d}\right)=0,$$所以只需证对任意 $\epsilon >0$, 存在 $D\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $$\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left|\frac{1}{DN}\sum _{d=1}^D{z}_{n+d}\right|<\epsilon .$$取 $D>1/\epsilon$, 由 Cauchy 不等式$$\begin{array}{rl}\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\left|\frac{1}{DN}\sum _{d=1}^D{z}_{n+d}\right|}^2& \le \underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{\left|\frac{1}{D}\sum _{d=1}^D{z}_{n+d}\right|}^2\\ & \le \underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\frac{1}{D^2}\sum _{c,d=1}^D{z}_{n+c}\overline{z_{n+d}}\\ & \le \frac{1}{D^2}\sum _{c,d=1}^D\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_{n+c}\overline{z_{n+d}};\end{array}$$而当 $c\ne d$ 时, 由条件 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N{z}_{n+c}\overline{z_{n+d}}=0$, 所以上式实为$$\frac{1}{D^2}\sum _{d=1}^D\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N|z_{n+d}{|}^2\le \frac{1}{D^2}\sum _{d=1}^D\underset{N\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}1=\frac{1}{D}<\epsilon ,$$命题得证.

$\square$

3推论

推论 3.1. 设 $f(x)={\sum }_{i=1}^k{a}_i{x}^{r_i}$ 为关于正实数 $x$ 的函数, 其中 $r_1>\cdots >r_k$ 为实数, $a_1,\dots ,a_k$ 为非零实数. 设 $r_1>0$, 且如 $r_1\in \mathbb{Z}$ 则再设 $a_1\notin \mathbb{Q}$. 则实数列 $\{f(n){\}}_{n=1}^{\infty }$ 模 $1$ 一致分布.

4相关概念

•	一致分布
•	Weyl 判别法

术语翻译

van der Corput 差分定理 • 英文 van der Corput’s difference theorem • 法文 théorème de la différence de van der Corput