Weyl 判别法

约定. 在本文中,

• $\mathbf{e}(x)=\exp (2\pi \mathrm{i}x)$.

Weyl 判别法是判别一致分布的常用方法, 把一致分布定义中的区间特征函数换成三角函数来验证性质.

1陈述

Weyl 判别法在 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上, 或者说 $[0,1]$ 上, 形式如下:

定理 1.1. 设 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 $\mathbb{T}$ 中点列. 以下几条等价:

1.	$\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为一致分布.
2.	对任意 Riemann 可积函数 $f:\mathbb{T}\to \mathbb{C}$ 都有 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}f$.
3.	对任意连续函数 $f:\mathbb{T}\to \mathbb{C}$ 都有 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}f$.
4.	对任意 $k\in \mathbb{Z}\setminus 0$, ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N\mathbf{e}(k{a}_n)=0$.

高维形式如下:

定理 1.2. 设 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 ${\mathbb{T}}^d$ 中点列. 以下几条等价:

1.	$\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为一致分布.
2.	对任意 Riemann 可积函数 $f:{\mathbb{T}}^d\to \mathbb{C}$ 都有 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{{\mathbb{T}}^d}f$.
3.	对任意连续函数 $f:{\mathbb{T}}^d\to \mathbb{C}$ 都有 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{{\mathbb{T}}^d}f$.
4.	对任意 $k\in {\mathbb{Z}}^d\setminus 0$, ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N\mathbf{e}(⟨k,a_n⟩)=0$, 其中 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示内积 ${\mathbb{Z}}^d\times {\mathbb{T}}^d\to \mathbb{T}$.

2证明

我们来证一维情形, 高维的证明完全一样. 回忆 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 一致分布的定义: 对任一开区间 $U\subseteq \mathbb{T}$, $$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{\#\{n\in {\mathbb{Z}}_{+}\mid n\le N,a_n\in U\}}{N}=\mathrm{vol}(U),$$即数列在 $U$ 中的项占比趋于 $\mathrm{vol}(U)$. 现对 $\mathbb{T}$ 上复值函数 $f$ 考虑如下条件:

$(\ast )$

${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}f$.

则显然 $(\ast )$ 对常函数成立. 于是定理 1.1 的各个条件分别相当于:

1.	$(\ast )$ 对任一开区间 $U$ 的示性函数 ${\chi }_U(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in U;\\ 0,& x\notin U;\end{array}$ 成立.
2.	$(\ast )$ 对 Riemann 可积函数成立.
3.	$(\ast )$ 对连续函数成立.
4.	$(\ast )$ 对函数 $\mathbf{e}(kx)$ 成立, 对任意 $k\in \mathbb{Z}$.

这样显然有 2 推 1, 2 推 3, 3 推 4. 注意:

•	$(\ast )$ 如对一些函数成立, 则对它们的线性组合也成立.
•	$\mathbb{T}$ 上函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛于函数 $f$, 且 $(\ast )$ 对各个 $f_n$ 成立, 则 $(\ast )$ 对 $f$ 也成立.

于是由 Stone–Weierstrass 定理可得 4 推 3. 下证其余.

3 推 1

取两列连续函数 $g_m:\mathbb{T}\to [0,1]$, $h_m:\mathbb{T}\to [0,1]$, 满足: ∘ 对任一 $m$, $g_m\le {\chi }_U\le h_m$. ∘ ${\lim }_{m\to \infty }{\int }_{\mathbb{T}}(h_m-g_m)=0$. 于是对固定的 $m$, 条件 3 给出$${\int }_{\mathbb{T}}{g}_m=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{g}_m(a_n)\le \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{\chi }_U(a_n)\le \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{h}_m(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}{h}_m;$$令 $m\to \infty$ 即得 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N{\chi }_U(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}{\chi }_U$.

1 推 2

拆成实部和虚部, 只需对实值 Riemann 可积函数证明 $(\ast )$. 对实值 Riemann 可积函数 $f$, 由 Riemann 可积的定义, 存在一列简单函数 $s_m\le f$, 一列简单函数 $t_m\ge f$, 使得 ${\lim }_{m\to \infty }{\int }_{\mathbb{T}}{s}_m={\lim }_{m\to \infty }{\int }_{\mathbb{T}}{t}_m={\int }_{\mathbb{T}}f$; 这里简单函数指的是开区间示性函数的线性组合. 于是由条件 1 知$${\int }_{\mathbb{T}}{s}_m=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{s}_m(a_n)\le \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(a_n)\le \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{t}_m(a_n)\le ={\int }_{\mathbb{T}}{t}_m;$$令 $m\to \infty$ 即得 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}f(a_n)={\int }_{\mathbb{T}}f$.

3应用

标准的应用是

定理 3.1. 对无理数 $\alpha$, 点列 $\{n\alpha \mathrm{mod}1{\}}_{n=1}^{\infty }$ 在 $\mathbb{T}$ 上一致分布.

证明. 我们来验证定理 1.1 的条件 4. 注意 $\mathbf{e}(x)$ 只依赖于 $x\mathrm{mod}1$, 于是条件 4 极限号中的式子相当于$$\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\mathbf{e}(kn\alpha )=\frac{\mathbf{e}(k\alpha )}{N}\frac{1-\mathbf{e}(kN\alpha )}{1-\mathbf{e}(k\alpha )},$$模长不大于 $2N^{-1}|1-\mathbf{e}(k\alpha ){|}^{-1}$. 由于 $\alpha$ 是无理数, $\mathbf{e}(k\alpha )\ne 1$, 所以它在 $N\to \infty$ 时趋于 $0$.

$\square$

下面的定理也是其推论, 证明见主条目.

定理 3.2 (van de Corput 差分定理). 如 $\mathbb{T}$ 中点列 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足对任意 $h\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 差分点列 $\{a_{n+h}-a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 一致分布, 则 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 本身一致分布. 于是结合定理 3.1 可得: 如实多项式 $f(x)$ 的最高次项系数是无理数, 则 $\{f(n)\mathrm{mod}1{\}}_{n=1}^{\infty }$ 一致分布.

4推广

用 Peter–Weyl 定理可将 Weyl 判别法推广到一般的紧群上.

定理 4.1. 设 $G$ 是紧群, $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 $G$ 中点列. 则 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ (关于 Haar 测度) 一致分布, 当且仅当对 $G$ 的任一非平凡不可约酉表示 $(\rho ,V)$, $$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\rho (a_n)=0,$$其中左边的极限是在有限维复线性空间 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{C}}(V)$ 中计算.

(应该也有齐性空间版本, 大概对应于 $L^2(G/H)$ 中出现的表示.)

5相关概念

•	一致分布
•	Stone–Weierstrass 定理
•	Peter–Weyl 定理
•	van der Corput 差分定理

术语翻译

Weyl 判别法 • 英文 Weyl’s criterion • 德文 Weylkriterium • 法文 critère de Weyl