Witt 定理

Witt 定理是双线性型理论中的一个基本结论, 以 Ernst Witt 的名字命名. 它描述了双线性型的结构.

1陈述

Witt 定理的两个常用形式如下.

定理 1.1 (Witt 延拓定理). 设 $k$ 是域, $(V,b)$ 是下列两者之一:

•	$k$ 上的辛向量空间, 或

•	$k$ 上的正交向量空间, 且 $k$ 的特征不为 $2$.

则 $V$ 的任何两个子空间之间的等距同构 $f:W\to W^{\prime }$ 都能延拓为 $V$ 的等距自同构.

定理 1.2 (Witt 消去定理). 设 $k$ 是域, $(V,b)$, $(V_1,b_1)$, $(V_2,b_2)$ 是下列两者之一:

•	$k$ 上的三个带有交错双线性型的有限维向量空间, 或

•	$k$ 上的三个带有对称双线性型的有限维向量空间, 且 $k$ 的特征不为 $2$.

假设有等距同构$$(V,b)\oplus (V_1,b_1)\simeq (V,b)\oplus (V_2,b_2).$$那么, 有等距同构$$(V_1,b_1)\simeq (V_2,b_2).$$

2证明

我们证明一般形式. 以下:

•	$k$ 是除环.
•	$\ast$ 是 $k$ 的对合, 即 $a\mapsto a^{\ast }$ 是 $k$ 的反自同构, 满足 $a^{\ast \ast }=a$.
•	$\epsilon \in k$ 满足 $\epsilon {\epsilon }^{\ast }=1$.
•	对 $k$-线性空间 $V$, 其上 $\epsilon$-Hermite 双线性型指的是满足$$B(u,v)=\epsilon B(v,u{)}^{\ast }$$且对第一个变量线性的 $B:V\times V\to k$. 这样 $B$ 自然对第二个变量为 $\ast$-线性. 称 $B$ 满足条件 $(\text{T})$, 指的是对任一 $v\in V$, 存在 $a\in k$ 使得$$B(v,v)=a+\epsilon a^{\ast }.$$

注 2.1. 取 $k$ 为域, $\ast =\mathrm{id}$. 则:

•	交错双线性型是 $(-1)$-Hermite 双线性型, 且显然满足条件 $(\text{T})$, 因为可取 $a=0$.
•	对称双线性型是 $1$-Hermite 双线性型, 且在 $\mathrm{char}k\ne 2$ 时满足条件 $(\text{T})$, 因为可取 $a=\frac{1}{2}B(v,v)$.

定理 2.2 (Witt 延拓定理). 设 $V$ 是有限维 $k$-线性空间, $B$ 是其上非退化 $\epsilon$-Hermite 双线性型, 满足条件 $(\text{T})$. 设 $W\subseteq V$ 是子空间, 则任一等距嵌入 $i:W\to V$ 都可以延拓为 $V$ 的等距自同构.

证明. 首先注意, 如 $W,W^{\prime }\subseteq V$ 为两个子空间, $i:W\to V$, $i^{\prime }:W^{\prime }\to V$ 为等距嵌入, 满足 $W\cap W^{\prime }=i(W)\cap i^{\prime }(W^{\prime })=0$ 且对任意 $w\in W$, $w^{\prime }\in W^{\prime }$ 有 $B(w,w^{\prime })=B(i(w),i^{\prime }(w^{\prime }))$, 则 $i\oplus i^{\prime }$ 就是从 $W+W^{\prime }\subseteq V$ 到 $i(W)+i^{\prime }(W^{\prime })\subseteq V$ 的等距同构. 接下来:

•

先考虑 $i$ 在 $W$ 的余一维子空间 $U$ 上等于 $\mathrm{id}$ 的情况. 此时如 $i=\mathrm{id}$ 自不必证; 否则观察一维子空间$$T=\{i(w)-w\mid w\in W\}.$$如有子空间 $W^{\prime }\subseteq T^{\perp }$ 满足 $W^{\prime }\cap W=W^{\prime }\cap i(W)=0$, 则可对 $W,W^{\prime }$ 取 $i^{\prime }=\mathrm{id}$ 使用证明开头所注意, 把 $i$ 延拓到 $W+W^{\prime }$ 上, 且延拓所得嵌入在余一维子空间 $U+W^{\prime }\subseteq W+W^{\prime }$ 上等于 $\mathrm{id}$. 现在对 $u,v\in W$ 计算$$B(i(u),i(v)-v)=B(i(u),i(v))-B(i(u),v)=B(u,v)-B(i(u),v)=B(u-i(u),v);$$由此不难看出 $U\subseteq T^{\perp }$. 接下来分两种情况: ∘ $W⊈T^{\perp }$. 此时上式表明 $i(W)⊈T^{\perp }$, 且 $W\cap T^{\perp }=i(W)\cap T^{\perp }=U$. 这样, 取 $U$ 在 $T^{\perp }$ 中的补空间 $W^{\prime }$, 则它也是 $W$ 在 $V$ 中的补空间. 由前所述, $i$ 可以延拓至 $W+W^{\prime }=V$ 上. ∘ $W\subseteq T^{\perp }$. 此时上式表明 $i(W)\subseteq T^{\perp }$, 于是 $T\subseteq T^{\perp }$, 即 $T$ 是迷向子空间. 我们先说明, 存在子空间 $W^{\prime }\subseteq T^{\perp }$, 同时是 $W$ 和 $i(W)$ 在 $T^{\perp }$ 中的补空间: 如果 $W=i(W)$ 自不必证; 否则由于 $U=i(U)$ 同时是 $W$ 和 $i(W)$ 的余一维子空间, $W$ 和 $i(W)$ 都是 $W+i(W)$ 的余一维子空间, 于是取 $W+i(W)$ 的补空间, 再加上一个在 $W+i(W)$ 中但不在 $W$ 和 $i(W)$ 中的向量, 即得所求. 由前所述, $i$ 可以延拓到 $W+W^{\prime }=T^{\perp }$ 上, 其像集为 $i(W)+W^{\prime }=T^{\perp }$. 这样就化归到了 $W=i(W)=T^{\perp }$ 的情形. 此时取 $v\notin W$, 则 $V=W+kv$. 由于 $B$ 非退化, 存在 $v^{\prime }\in V$, 使得对任意 $w\in W$ 均有$$B(i(w),v^{\prime })=B(w,v).$$由于 $i(w)\in i(W)=T^{\perp }$, 给 $v^{\prime }$ 加上 $T$ 中元素不改变上式. 于是由以下引理以及条件 $(\text{T})$, 可不妨设 $B(v^{\prime },v^{\prime })=B(v,v)$. 这样就又可以用前述方法, 取 $W^{\prime }=kv$, $i^{\prime }(v)=v^{\prime }$, 把 $i$ 延拓到 $W+kv=V$ 上.

•

一般情况对 $\dim W$ 归纳即可化归为 $i$ 在余一维子空间是 $\mathrm{id}$ 的情况.

$\square$

引理 2.3. 设 $V$ 是 $k$-线性空间, $B$ 是其上 $\epsilon$-Hermite 双线性型, 满足条件 $(\text{T})$. 设子空间 $T\subseteq V$ 为非零、全迷向. 则对任一 $v\notin T^{\perp }$, 任一 $a\in k$, 存在 $w\in T$ 使得$$B(v+w,v+w)=a+\epsilon a^{\ast }.$$

证明. 用条件 $(\text{T})$ 取 $b\in k$ 使得 $B(v,v)=b+\epsilon b^{\ast }$. 由于 $T$ 全迷向, 对 $w\in T$, $$B(v+w,v+w)=(b+B(w,v))+\epsilon (b+B(w,v){)}^{\ast }.$$由于 $v\notin T^{\perp }$, $w\mapsto b+B(w,v)$ 是 $T$ 到 $k$ 的非常值仿射映射, 由于 $T\ne 0$ 这是满射. 所以对任一 $a\in k$, 存在 $w\in T$ 使得 $b+B(w,v)=a$, 即$$B(v+w,v+w)=a+\epsilon a^{\ast }.$$

$\square$

术语翻译

Witt 定理 • 英文 Witt’s theorem • 德文 Satz von Witt • 法文 théorème de Witt

Witt 延拓定理 • 英文 Witt’s extension theorem • 德文 Erweiterungssatz von Witt • 法文 théorème d’extension de Witt

Witt 消去定理 • 英文 Witt’s cancellation theorem • 德文 Aufhebungssatz von Witt • 法文 théorème d’annulation de Witt