向量空间

向量空间 (也称为线性空间、矢量空间) 是一种代数结构, 是线性代数的主要研究对象. 我们最熟悉的向量空间包括坐标平面$${\mathbb{R}}^2=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{R}\},$$以及我们所处的三维空间$${\mathbb{R}}^3=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb{R}\}.$$一般地, 也有 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 维向量空间$${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\}.$$向量空间的元素称为向量. 向量可以相加而得到新的向量, 也可以将向量乘以一个数而得到新的向量. 这两种操作刻画了向量空间的代数结构.

除了上述例子外, 还可以有无限维的向量空间. 例如, 考虑 $\mathbb{R}$ 上的所有实值连续函数的空间$$C(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ 连续}\}.$$使用线性代数的术语, 我们将这样的连续函数称为向量. 在 $C(\mathbb{R})$ 中, 连续函数可以相加而得到新的连续函数, 也可以乘一个数而得到新的连续函数. 这两点说明 $C(\mathbb{R})$ 也是向量空间.

1定义

定义 1.1 (向量空间). 设 $k$ 是域. 则 $k$-向量空间就是 $k$-模.

具体地说, $k$-向量空间是集合 $V$, 带有两种运算$$\begin{array}{rl}+& :V\times V\to V,\\ \cdot & :k\times V\to V,\end{array}$$分别称为加法和数乘. 这里, 表示数乘的点乘符号常常省略. 我们要求这两种运算满足以下性质:

•	$(V,+)$ 构成 Abel 群, 其单位元记为 $0$. 具体来说, 是指加法满足以下性质: ∘ 加法满足结合律: 对任意 $x,y,z\in V$, 有$$(x+y)+z=x+(y+z).$$ ∘ 加法满足交换律: 对任意 $x,y\in V$, 有$$x+y=y+x.$$ ∘ 加法具有单位元 $0\in V$, 满足单位律: 对任意 $x\in V$, 有$$0+x=x.$$ ∘ 对任意 $x\in V$, 存在元素 $-x\in V$, 使得$$x+(-x)=0.$$

•	数乘满足单位律: 对任意 $x\in V$, 有$$1x=x.$$

•	数乘对 $V$ 中的加法满足分配律: 对任意 $c\in k$ 及 $x,y\in V$, 有$$c(x+y)=cx+cy.$$

•	数乘对 $k$ 中的加法满足分配律: 对任意 $c,d\in k$ 及 $x\in V$, 有$$(c+d)x=cx+dx.$$

•	数乘与 $k$ 中的乘法相容: 对任意 $c,d\in k$ 及 $x\in V$, 有$$(cd)x=c(dx).$$

此时, 域 $k$ 的元素通常称为标量, 向量空间 $V$ 中的元素通常称为向量. 元素 $0\in V$ 有时称为 $V$ 的原点.

定义 1.2 (线性映射). 设 $k$ 是域, 设 $V,W$ 是 $k$-向量空间. 映射$$f:V\to W$$称为线性映射, 如果它是 $k$-模同态.

具体地说, 这意味着

•	对任意 $c\in k$ 和任意 $x\in V$, 有$$f(cx)=cf(x).$$
•	对任意 $x,y\in V$, 有$$f(x+y)=f(x)+f(y).$$

定义 1.3 (向量空间范畴). 所有向量空间 (定义 1.1) 和它们之间的线性映射 (定义 1.2) 构成范畴, 称为 $k$-向量空间的范畴, 记为 ${\mathsf{Vect}}_k$.

2例子

•	对任何域 $k$, 单点集可以视为 $k$-向量空间, 称为零向量空间, 记为 $0$.

•	域 $k$ 可以看成自身上的向量空间, 其维数为 $1$.

•	对任何自然数 (乃至基数) $n$, 集合 $k^n$ 上带有自然的 $k$-向量空间结构, 其维数为 $n$.

•	对任何扩域 $K/k$, 都能将 $K$ 看作 $k$-向量空间. 例如, 复数域 $\mathbb{C}$ 就是 $\mathbb{R}$-向量空间, 其维数为 $2$.

•	对任何拓扑空间 $X$, 连续函数空间$$C(X)=\{f:X\to \mathbb{R}\mid f\text{ 连续}\}$$是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间.

3性质

基

每个 $k$-向量空间中, 都能找到一组基, 也就是一组向量, 例如 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, 使得该向量空间的任意向量 $v$ 都能唯一地写成这些向量的线性组合:$$v=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n,$$其中 $a_i\in k$ 是标量. 这样, 选定一组基, 就能用这组数 $a_1,\dots ,a_n$ 来代表向量 $v$, 有时记为$$v=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right).$$由此, 通过一组基, 就能把向量空间的几乎所有操作化为数的运算.

基存在定理表明, 每个向量空间都有基. 同一个向量空间的所有基都具有同样多的向量, 这一数目称为该向量空间的维数.

4相关概念

术语翻译

向量空间 • 英文 vector space • 德文 Vektorraum (m) • 法文 espace vectoriel (m) • 拉丁文 spatium vectoriale (n) • 古希腊文 διανυσματικὸς χῶρος (m)

线性空间 • 英文 linear space • 德文 linearer Raum (m) • 法文 espace linéaire (m) • 拉丁文 spatium lineare (n) • 古希腊文 γραμμικὸς χῶρος (m)

向量 • 英文 vector • 德文 Vektor (m) • 法文 vecteur (m) • 拉丁文 vector (m) • 古希腊文 διάνυσμα (n)