Łoś–Vaught 判别法

Łoś–Vaught 判别法是模型论里判别某个理论是否完备的方法, 由 Łoś 和 Vaught 于 1954 年提出.

1定理与证明

定理 1.1 (Łoś–Vaught). 如果对于某个基数 $\kappa \ge |\mathcal{L}|+{\aleph }_0$, 一阶语言 $\mathcal{L}$ 里的某个理论 $T$ 是 $\kappa$-定言的, 且没有有限模型, 那么 $T$ 是完备的.

证明. 只需证明任两个模型都是模型等价. 设其为 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{N}$, 则由 Löwenheim–Skolem 定理 (无论是上升还是下降), 知总存在势为 $\kappa$ 的模型 ${\mathcal{M}}^{\prime }\equiv \mathcal{M}$ 和 ${\mathcal{N}}^{\prime }\equiv \mathcal{N}$. 从而$$\mathcal{M}\equiv {\mathcal{M}}^{\prime }\equiv {\mathcal{N}}^{\prime }\equiv \mathcal{N}.$$这就说明了 $T$ 是完备的.

$\square$

2应用

1.	由于固定特征的代数闭域理论 ${\mathsf{ACF}}_q$ ($q=0$ 或素数) 是 ${\aleph }_1$- 定言的, 知它们是完备的.
2.	因为无界稠密全序理论 $\mathsf{DLO}$ 是 ${\aleph }_0$- 定言的, 所以它也是完备的.

3参见

•	$\kappa$-定言性

术语翻译

Łoś–Vaught 判别法 • 英文 Łoś–Vaught test • 法文 critère de Łoś–Vaught