κ-定言性

在模型论里, $\kappa$-定言性说的是 “某一层” 的模型的唯一性.

1定义

设 $\kappa$ 是一个基数.

定义 1.1. 称一个理论 $T$ 是 $\kappa$-定言的, 如果任两个势为 $\kappa$ 的 $T$ 的模型都同构.

2性质

Łoś–Vaught 判别法

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Łoś–Vaught 判别法说的是, 如果对于一个足够大 (至少需要无限且大过一阶语言本身的基数) 的基数 $\kappa$, 一个没有有限模型的理论 $T$ 是 $\kappa$-定言的, 那么 $T$ 是完备的.

Morley 定言定理

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Morley 定言定理给出了所有定言性的结构. 它说的是, 在一个至多可数的一阶语言的框架下, 某个没有有限模型的理论 $T$ 的定言性只有如下几种可能:

•	对于任意 $\kappa$, $T$ 都不是 $\kappa$-定言的.
•	对于任意 $\kappa \ge {\aleph }_0$, $T$ 都是 $\kappa$-定言的.
•	$T$ 是 $\kappa$-定言的等价于 $\kappa ={\aleph }_0$.
•	$T$ 是 $\kappa$-定言的等价于 $\kappa >{\aleph }_0$.

3例子

•	固定特征的代数闭域理论 ${\mathsf{A}\mathsf{C}\mathsf{F}}_q$ ($q=0$ 或素数) 不是 ${\aleph }_0$-定言的, 但对所有 $\kappa >{\aleph }_0$ 都是 $\kappa$-定言的. 这是因为固定特征的代数闭域完全被其在基域上的超越度决定.
•	无界稠密全序理论 $\mathsf{D}\mathsf{L}\mathsf{O}$ 是 ${\aleph }_0$-定言的, 但对所有 $\kappa >{\aleph }_0$ 都不是 $\kappa$-定言的, 因为 $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{R}\bigsqcup \mathbb{R}$ 不同构 (Dedekind 完备性), 所以它不是 $2^{{\aleph }_0}$-定言的, 再用 Morley 定言定理即可.

术语翻译

$\kappa$-定言 • 英文 $\kappa$-categorical • 德文 $\kappa$-kategorisch • 法文 $\kappa$-catégorique