不可分解模

不可分解模指不能分解为两个模的直和的非零模.

1定义

定义 1.1. 环 $A$ 上的 (左, 右, 双) 模 $M$ 被称为不可分解的, 如果对分解 $M = N \oplus P$ , $N$ 和 $P$ 恰有一个为零模.

命题 2.1. 有限长模均可唯一分解为不可分解模的有限直和. 其中唯一性指即对两个分解 $M = \oplus_{i \in I} M_{i} = \oplus_{i \in J} N_{j}$ , 存在双射 $π : I \to J$ 使 $M_{i} ≃ N_{π (j)}$ .

命题 2.2. 单模是不可分解模, 反之未必成立.

命题 2.3 (Fitting). 有限长不可分解模的自同态环是局部环. 其极大理想是所有幂零的自同态.

注 2.4. 注意这个环不一定是交换环.

证明. 根据 Fitting 引理, 这个模的任一自同态或者幂零, 或者可逆, 两者必居其一. 满足这种性质的环一定是局部环 (参见局部环).

$□$

命题 2.5. 有限长度不可分解模的首是单模. 反之, 首是单模的模是不可分解模.

•	$Z / (p^{n})$ 是 $Z$ 上不可分解模, 其中 $p$ 为素数, $n$ 为正整数.
•	上三角矩阵环 $B_{n} (k)$ 上的左模 $k^{n}$ 是不可分解模.
•	群代数 $k [G]$ 作为自身的左模是不可分解模, 如果 $k$ 是特征 $p$ 域, $G$ 为 $p$ 群.

以上三例中, 除了最简单的情况外, 均给出了不是单模的不可分解模.

•	单模
•	Krull–Schmidt 范畴

术语翻译

不可分解模 • 英文 indecomposable module