直和

直和是代数学中的一种构造. 一族代数结构 $(X_i{)}_{i\in I}$ 的直和, 记为$$X=\underset{i\in I}{⨁}{X}_i,$$通常由形如$$x=(x_i{)}_{i\in I}$$的元素构成, 其中 $x_i\in X_i$, 且其中只有有限个不是零元. 特别地, 有限个代数结构的直和常常与其积相同.

直和也可以在一般的范畴中定义. 当范畴具有双积时, 直和与双积相同.

1例子

对模

定义 1.1. 设 $R$ 是环, $(X_i{)}_{i\in I}$ 是一族 $R$-左模. 则这族模的直和, 记为$$X=\underset{i\in I}{⨁}{X}_i,$$也是一个 $R$-左模, 其元素形如$$x=(x_i{)}_{i\in I},$$其中 $x_i\in X_i$, 且其中只有有限个非零. 其加法、标量乘法都逐个分量定义.

特别地,

•	若 $R$ 是域, 则这定义了向量空间的直和.

•	若取 $R=\mathbb{Z}$, 则这定义了 Abel 群的直和.

对群

定义 1.2. 设 $(G_i{)}_{i\in I}$ 是一族群. 则其直和, 记为$$G=\underset{i\in I}{⨁}{G}_i,$$也是一个群, 其元素形如$$g=(g_i{)}_{i\in I},$$其中 $g_i\in G_i$, 且其中只有有限个不是相应群中的单位元. 其乘法逐个分量定义.

2一般定义

定义 2.1 (直和). 设 $\mathcal{C}$ 是带有零对象、积、余积、像的范畴. 设 $(X_i\in \mathcal{C}{)}_{i\in I}$ 是一族对象. 考虑态射$$r:\coprod _{i\in I}{X}_i⟶\prod _{i\in I}{X}_i,$$它将每个 $X_i$ 以恒同态射映到右边的 $X_i$, 而以零态射映到右边的其它 $X_j$. 则 $(X_i{)}_{i\in I}$ 的直和定义为 $r$ 的像, 从而有分解$$\coprod _{i\in I}{X}_i⟶\underset{i\in I}{⨁}{X}_i⟶\prod _{i\in I}{X}_i.$$

术语翻译

直和 • 英文 direct sum • 德文 direkte Summe (f) • 法文 somme directe (f)