单模

单模是模论中 (除平凡对象外) 最简单的对象, 也称为不可约模, 在表示论中称为不可约表示, 即那些没有非平凡子模的非零模.

1定义

定义 1.1. 环 $A$ 上的 (左、右、双) 模 $M$ 称为单模, 如果它不是零模, 且不含有非平凡的子模, 即其仅有的子模为零模和它本身.

注 1.2. 在范畴论的语言中, 上述定义转述为: 单模是模范畴中的单对象.

2性质

命题 2.1 (Schur). 如果环 $A$ 上两个单模 $M$, $N$ 之间有非零同态 $f$, 则 $f$ 为同构. 特别地, 单模 $M$ 的自同态环为除环.

证明. $f$ 的核是 $M$ 的子模, 由 $f$ 的非零性不为 $M$ 本身, 因此为 $0$, 即 $f$ 为单射. $f$ 的像是 $N$ 的子模, 由 $f$ 的非零性不为 $0$, 因此为 $N$ 本身, 即 $f$ 为满射. 因此 $f$ 为同构.

$\square$

命题 2.2. 环 $A$ 上 (左, 右) 单模同构于环 $A$ 对其某个极大 (左, 右) 理想的商模. 反之, 环 $A$ 对其某个极大 (左, 右) 理想的商模是单模.

命题 2.3. 单模是不可分解模.

命题 2.4. 单模是半单模.

3例子

•	整数 $\mathbb{Z}$ 上的模 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, 其中 $p$ 为素数, 是单模.
•	设 $k$ 为域, 则矩阵环 ${\mathrm{M}}_n(k)$ 上的单模是线性空间 $k^n$, 其中环的作用以矩阵乘法给出.

4相关概念

•	单环
•	不可分解模
•	半单模
•	合成列 (模论)

术语翻译

单模 • 英文 simple module • 德文 einfacher Modul • 法文 module simple • 拉丁文 modulus simplex • 古希腊文 ἀπλοῦν πρότυπον

单 (形容词) • 英文 simple • 德文 einfach • 法文 simple • 拉丁文 simplex • 古希腊文 ἀπλοῦς

不可约 (形容词) • 英文 irreducible • 德文 irreduzibel • 法文 irréductible • 拉丁文 irreductibilis