例外同源

例外同源是指典型群之间的同源, 即有限覆叠.

典型群对应 A、B、C、D 型 Dynkin 图. 不同编号的 Dynkin 图在编号较小时可能同构, 例如 ${\mathrm{A}}_3={\mathrm{D}}_3$, 此时相应的典型群之间就存在例外同源.

特别地, 到特殊正交群的覆叠说明, 旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 当 $n\le 6$ 时同构于某些典型群.

Dynkin 图	复 Lie 群	紧实形式
${\mathrm{A}}_n$	$\mathrm{SL}(n+1;\mathbb{C})$	$\mathrm{SU}(n+1)$
${\mathrm{B}}_n$	$\mathrm{SO}(2n+1;\mathbb{C})$	$\mathrm{SO}(2n+1;\mathbb{R})$
${\mathrm{C}}_n$	$\mathrm{Sp}(2n;\mathbb{C})$	$\mathrm{USp}(n)$
${\mathrm{D}}_n$	$\mathrm{SO}(2n;\mathbb{C})$	$\mathrm{SO}(2n;\mathbb{R})$

1列举

${\mathrm{A}}_1={\mathrm{B}}_1$

对复 Lie 群, 有二重覆叠$$\mathrm{SL}(2;\mathbb{C})⟶\mathrm{SO}(3;\mathbb{C}),$$定义如下: 设 $V\simeq {\mathbb{C}}^2$, 带有非零线性映射 $⟨-⟩:{\wedge }^{2}V\to \mathbb{C}$. 对任意线性映射 $f:V\to V$, 有 $\det f=1$ 当且仅当 $f$ 保持该双线性型不变. 故 $\mathrm{SL}(V)$ 由保持 $⟨-⟩$ 不变的 $V$ 的自同构组成.

令 $W={\mathrm{Sym}}^{2}V\simeq {\mathbb{C}}^3$, 则 $W$ 带有对称双线性型$$⟨⟨v_1\otimes v_2,v_3\otimes v_4⟩⟩=⟨v_1,v_3⟩⟨v_2,v_4⟩+⟨v_1,v_4⟩⟨v_2,v_3⟩.$$若 $f\in \mathrm{SL}(V)$, 则 ${\mathrm{Sym}}^{2}f\in \mathrm{SO}(W)$. 这就定义了映射 $\mathrm{SL}(V)\to \mathrm{SO}(W)$. 它是二重覆叠, 其核为 $\{\pm 1\}$. 这也说明,$$\mathrm{SL}(2;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Spin}(3;\mathbb{C}),$$其中右边是旋量群.

将上述二重覆叠限制在不同的实形式上, 得到二重覆叠$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(2)& ⟶\mathrm{SO}(3;\mathbb{R}),\\ \mathrm{SU}(1,1)\simeq \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})& ⟶\mathrm{SO}(2,1).\end{array}$$这些覆叠说明$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(2)& \simeq \mathrm{Spin}(3),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})& \simeq \mathrm{Spin}(2,1).\end{array}$$

${\mathrm{A}}_1={\mathrm{C}}_1$

对复 Lie 群, 有同构$$\mathrm{SL}(2;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Sp}(2;\mathbb{C}),$$因为在 $2$ 维辛向量空间上, 线性映射保持辛形式当且仅当其行列式为 $1$.

限制在实形式上, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(2)& \simeq \mathrm{USp}(1),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})& \simeq \mathrm{Sp}(2;\mathbb{R}).\end{array}$$

${\mathrm{A}}_1\times {\mathrm{A}}_1={\mathrm{D}}_2$

这里, 两个 Dynkin 图都由两个孤立点构成.

对复 Lie 群, 有二重覆叠$$\mathrm{SL}(2;\mathbb{C})\times \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})⟶\mathrm{SO}(4;\mathbb{C}),$$定义如下. 和上面一样, 设 $V\simeq {\mathbb{C}}^2$, 带有非零线性映射 $⟨-⟩:{\wedge }^{2}V\to \mathbb{C}$. 则 $\mathrm{SL}(V)$ 由保持 $⟨-⟩$ 不变的 $V$ 的自同构组成.

令 $W=V\otimes V$, 则 $W$ 带有对称双线性型$$⟨⟨v_1\otimes v_2,v_3\otimes v_4⟩⟩=⟨v_1,v_3⟩⟨v_2,v_4⟩.$$若 $f\in \mathrm{SL}(V)$, 则 ${\mathrm{Sym}}^{2}f\in \mathrm{SO}(W)$. 这就定义了映射 $\mathrm{SL}(V)\to \mathrm{SO}(W)$. 它是二重覆叠, 其核为 $\{\pm 1\}$. 这也说明,$$\mathrm{SL}(2;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Spin}(4;\mathbb{C}),$$其中右边是旋量群.

限制在实形式上, 有二重覆叠$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)& ⟶\mathrm{SO}(4;\mathbb{R}),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})& ⟶\mathrm{SO}(3,1),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})\times \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})& ⟶\mathrm{SO}(2,2).\end{array}$$这些覆叠说明$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)& \simeq \mathrm{Spin}(4),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})& \simeq \mathrm{Spin}(3,1),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})\times \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})& \simeq \mathrm{Spin}(2,2).\end{array}$$

${\mathrm{B}}_2={\mathrm{C}}_2$

对复 Lie 群, 有二重覆叠$$\mathrm{Sp}(4;\mathbb{C})⟶\mathrm{SO}(5;\mathbb{C}),$$定义如下. 设 $V\simeq {\mathbb{C}}^4$, 带有辛形式 $⟨-⟩:{\wedge }^{2}V\to \mathbb{C}$. 则 $\omega$ 诱导了同构 $V\simeq V^{\vee }$, 进而有 $V^{\vee }$ 上的辛形式, 我们记为 ${\omega }^{\vee }:{\wedge }^2{V}^{\vee }\to \mathbb{C}$.

令 $W^{\prime }={\wedge }^{2}V$, 则 ${\omega }^{\vee }\in W^{\prime }$. 定义 $W^{\prime }$ 上的对称双线性型$$⟨⟨v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4⟩⟩=⟨v_1,v_3⟩⟨v_2,v_4⟩-⟨v_1,v_4⟩⟨v_2,v_3⟩.$$若 $f\in \mathrm{Sp}(V)$, 则 ${\wedge }^{2}f\in \mathrm{SO}(W^{\prime })$. 而 ${\wedge }^{2}f$ 一定保持 ${\omega }^{\vee }\in W^{\prime }$ 不动, 故正交地作用在 $W=({\omega }^{\vee }{)}^{\perp }\subset W^{\prime }$ 上. 这就定义了映射 $\mathrm{Sp}(V)\to \mathrm{SO}(W)$. 它是二重覆叠, 其核为 $\{\pm 1\}$. 这也说明,$$\mathrm{Sp}(4;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Spin}(5;\mathbb{C}).$$

限制在实形式上, 有二重覆叠$$\begin{array}{rl}\mathrm{USp}(2)& ⟶\mathrm{SO}(5;\mathbb{R}),\\ \mathrm{USp}(1,1)& ⟶\mathrm{SO}(4,1),\\ \mathrm{Sp}(2;\mathbb{R})& ⟶\mathrm{SO}(3,2).\end{array}$$这些覆叠说明$$\begin{array}{rl}\mathrm{USp}(2)& \simeq \mathrm{Spin}(5),\\ \mathrm{USp}(1,1)& \simeq \mathrm{Spin}(4,1),\\ \mathrm{Sp}(2;\mathbb{R})& \simeq \mathrm{Spin}(3,2).\end{array}$$

${\mathrm{A}}_3={\mathrm{D}}_3$

对复 Lie 群, 有二重覆叠$$\mathrm{SL}(4;\mathbb{C})⟶\mathrm{SO}(6;\mathbb{C}),$$定义如下. 设 $V\simeq {\mathbb{C}}^4$, 带有一个非零线性映射 $⟨-⟩:{\wedge }^{4}V\to \mathbb{C}$. 对任意线性映射 $f:V\to V$, 有 $\det f=1$ 当且仅当 $f$ 保持该多线性型不变. 故 $\mathrm{SL}(V)$ 由保持 $⟨-⟩$ 不变的 $V$ 的自同构组成.

令 $W={\wedge }^{2}V$. 定义 $W$ 上的对称双线性型$$⟨⟨v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4⟩⟩=⟨v_1\wedge v_2\wedge v_3\wedge v_4⟩.$$若 $f\in \mathrm{SL}(V)$, 则 ${\wedge }^{2}f\in \mathrm{SO}(W)$. 这就定义了映射 $\mathrm{SL}(V)\to \mathrm{SO}(W)$. 它是二重覆叠, 其核为 $\{\pm 1\}$. 这也说明,$$\mathrm{SL}(4;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Spin}(6;\mathbb{C}).$$

限制在实形式上, 有二重覆叠$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(4)& ⟶\mathrm{SO}(6;\mathbb{R}),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{H})& ⟶\mathrm{SO}(5,1),\\ \mathrm{SU}(2,2)& ⟶\mathrm{SO}(4,2),\\ \mathrm{SL}(4;\mathbb{R})& ⟶\mathrm{SO}(3,3).\end{array}$$这些覆叠说明$$\begin{array}{rl}\mathrm{SU}(4)& \simeq \mathrm{Spin}(6),\\ \mathrm{SL}(2;\mathbb{H})& \simeq \mathrm{Spin}(5,1),\\ \mathrm{SU}(2,2)& \simeq \mathrm{Spin}(4,2),\\ \mathrm{SL}(4;\mathbb{R})& \simeq \mathrm{Spin}(3,3).\end{array}$$

2参考文献

•	Paul Garrett (2015). “Sporadic isogenies to orthogonal groups”. (pdf)

•	Terence Tao (2011). “Exceptional isogenies between the classical Lie groups”. (web)

术语翻译

例外同形 • 英文 exceptional isogeny • 法文 isogénie exceptionnelle