旋量群

旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 是一个实 Lie 群, 是特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$ 的二重覆叠, 当 $n>2$ 时是万有覆叠. 也就是说, 有 Lie 群的正合列$$1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to 1.$$

旋量群是旋量的变换群. 正交向量空间中保持单位向量的变换群是正交群 $\mathrm{O}(n)$, 其中保持定向者构成的子群为 $\mathrm{SO}(n)$. 对应地, 大致来说, 保持单位旋量的变换群是扩旋量群 $\mathrm{Pin}(n)$, 其中保持定向者构成的子群为 $\mathrm{Spin}(n)$.

1定义

旋量群

设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, 带有二次型 $Q:V\to \mathbb{R}$. 记 $\mathrm{Cl}(V)$ 为对应的 Clifford 代数, $\mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$ 为其中可逆元构成的乘法群.

定义 1.1 (旋量群). 旋量群$$\mathrm{Spin}(V)\subset \mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$$定义为所有形如 $v_1{v}_2\cdots v_{2k}$ 的元素构成的子群, 其中 $v_1,\dots ,v_{2k}\in V$ 满足 $Q(v_i)=\pm 1$.

当 $Q$ 正定时, 得到的旋量群也记为 $\mathrm{Spin}(n)$. 若 $Q$ 非退化, 且符号为 $(p,q)$, 得到的旋量群记为 $\mathrm{Spin}(p,q)$.

复旋量群

定义 1.2 (复旋量群). 复旋量群 $\mathrm{Spin}(n;\mathbb{C})$ 定义为旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 的复化.

由于复二次型没有符号的区分, 故 $\mathrm{Spin}(p,q)$ 的复化就是 $\mathrm{Spin}(n;\mathbb{C})$, 其中 $n=p+q$.

2性质

3例子

一些低维的旋量群同构于某些别的已知 Lie 群, 这些同构中的一部分也被称为例外同形.

•	$\mathrm{Spin}(1)\simeq {\mathbb{Z}}_2$.

•	$\mathrm{Spin}(2)\simeq \mathrm{U}(1)\simeq \mathrm{SO}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(3)\simeq \mathrm{USp}(1)\simeq \mathrm{SU}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(4)\simeq \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(5)\simeq \mathrm{USp}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(6)\simeq \mathrm{SU}(4)$.

4相关概念

•	自旋
•	超对称
•	旋量
•	旋量流形
•	旋量丛

术语翻译

旋量群 • 英文 spin group • 德文 Spin-Gruppe (f) • 法文 groupe spinoriel (m)