旋量群

旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 是一个实 Lie 群, 是实特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n;\mathbb{R})$ 的二重覆叠, 当 $n>2$ 时是万有覆叠. 也就是说, 有 Lie 群的正合列$$1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to 1.$$

旋量群是旋量的变换群. 正交向量空间中保持单位向量的变换群是正交群 $\mathrm{O}(n)$, 其中保持定向者构成的子群为 $\mathrm{SO}(n)$. 对应地, 大致来说, 保持单位旋量的变换群是扩旋量群 $\mathrm{Pin}(n)$, 其中保持定向者构成的子群为 $\mathrm{Spin}(n)$.

1定义

实旋量群

设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, 带有二次型 $Q:V\to \mathbb{R}$. 记 $\mathrm{Cl}(V)$ 为对应的 Clifford 代数, $\mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$ 为其中可逆元构成的乘法群.

定义 1.1 (旋量群). 旋量群$$\mathrm{Spin}(V)\subset \mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$$定义为所有形如 $v_1{v}_2\cdots v_{2k}$ 的元素构成的子群, 其中 $v_1,\dots ,v_{2k}\in V$ 满足 $Q(v_i)=\pm 1$.

当 $Q$ 正定时, 得到的旋量群也记为 $\mathrm{Spin}(n)$. 若 $Q$ 非退化, 且符号为 $(p,q)$, 得到的旋量群记为 $\mathrm{Spin}(p,q)$.

复旋量群

定义 1.2 (复旋量群). 复旋量群 $\mathrm{Spin}(n;\mathbb{C})$ 定义为旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 的复化.

由于复二次型没有符号的区分, 故 $\mathrm{Spin}(p,q)$ 的复化就是 $\mathrm{Spin}(n;\mathbb{C})$, 其中 $n=p+q$.

2性质

基本性质

依定义 $\mathrm{Spin}(n)=\mathrm{Spin}(n,0)$. 另外, 不定版本关于指标 $p,q$ 有对称性: $$\mathrm{Spin}(p,q)\cong \mathrm{Spin}(q,p).$$

对于 $n=1$, 旋量群 $\mathrm{Spin}(1)=\mathrm{Spin}(1;\mathbb{C})=\{\pm 1\}\cong {\mathbb{Z}}_2$.

对于 $n=2$, 旋量群 $\mathrm{Spin}(2)\cong \mathrm{SO}(2)$, 但它的具体作用在 $V$ 上其实是 $\mathrm{SO}(2)$ 二重覆叠. 不定旋量群 $\mathrm{Spin}(1,1)\cong \mathrm{GL}(1;\mathbb{R})={\mathbb{R}}^{\times }$ 具有两个连通分支. $\mathrm{Spin}(2;\mathbb{C})\cong \mathrm{GL}(1;\mathbb{C})={\mathbb{C}}^{\times }$.

对于 $n=p+q>2$, 不定旋量群 $\mathrm{Spin}(p,q)$ 总是不定特殊正交群单位连通分支 $\mathrm{SO}(p,q{)}^0$ 的二重覆叠, 于是得到正合列$$1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Spin}(p,q)\to \mathrm{SO}(p,q{)}^0\to 1.$$不过一般来说该覆叠未必是万有覆叠, 因此在 $p+q>2$ 的情况下 $\mathrm{Spin}(p,q)$ 连通, 但未必单连通.

群 $\mathrm{SO}(p,q)$ 的基本群记录在如下表格中.

${\pi }_1(\mathrm{SO}(p,q))$	$p=0$	$p=1$	$p=2$	$p>2$
$q=0$	$-$	$0$	$\mathbb{Z}$	${\mathbb{Z}}_2$
$q=1$	$0$	$0$	$\mathbb{Z}$	${\mathbb{Z}}_2$
$q=2$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$
$q>2$	${\mathbb{Z}}_2$	${\mathbb{Z}}_2$	$\mathbb{Z}$	${\mathbb{Z}}_2$

只有对该表格中出现 ${\mathbb{Z}}_2$ 的那些对子 $(p,q)$, 群 $\mathrm{Spin}(p,q)$ 才是单连通的.

中心

旋量群的中心如下列出:

对于实旋量群, $n\le 2$ 时都是交换群. 下面总讨论 $n=p+q\ge 3$ 的情形.

$$Z(\mathrm{Spin}(p,q))=\{\begin{array}{ll}{\mathbb{Z}}_2,& p\equiv 1\mathrm{mod}2\text{ 或 }q\equiv 1\mathrm{mod}2;\\ {\mathbb{Z}}_4,& n\equiv 2\mathrm{mod}4\text{ 且 }p,q\equiv 0\mathrm{mod}2;\\ {\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2,& n\equiv 0\mathrm{mod}4\text{ 且 }p,q\equiv 0\mathrm{mod}2.\end{array}$$

对于复旋量群, $n\le 2$ 时也都是交换群. 下面总讨论 $n\ge 3$ 的情形.

$$Z(\mathrm{Spin}(n;\mathbb{C}))=\{\begin{array}{ll}{\mathbb{Z}}_2,& n\equiv 1\mathrm{mod}2;\\ {\mathbb{Z}}_4,& n\equiv 2\mathrm{mod}4;\\ {\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2,& n\equiv 0\mathrm{mod}4.\end{array}$$

结论皆表现出模 $4$ 的周期性.

3例子

一些低维的旋量群同构于某些别的已知 Lie 群, 这些同构中的一部分也被称为例外同形.

$\mathrm{Spin}(n)$ 的例外同形

•	$\mathrm{Spin}(1)\simeq \mathrm{O}(1)\simeq {\mathbb{Z}}_2$.

•	$\mathrm{Spin}(2)\simeq \mathrm{U}(1)\simeq \mathrm{SO}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(3)\simeq \mathrm{USp}(1)\simeq \mathrm{SU}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(4)\simeq \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(5)\simeq \mathrm{USp}(2)$.

•	$\mathrm{Spin}(6)\simeq \mathrm{SU}(4)$.

$\mathrm{Spin}(p,q)$ 的例外同形

对 $p\ge q\ge 1$, 我们有:

•	$\mathrm{Spin}(1,1)\simeq \mathrm{GL}(1;\mathbb{R})$.

•	$\mathrm{Spin}(2,1)\simeq \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})\simeq \mathrm{SU}(1,1)$.

•	$\mathrm{Spin}(3,1)\simeq \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})\simeq \mathrm{Sp}(2;\mathbb{C})$.

•	$\mathrm{Spin}(4,1)\simeq \mathrm{USp}(1,1)$.

•	$\mathrm{Spin}(5,1)\simeq \mathrm{SL}(2;\mathbb{H})$.

•	$\mathrm{Spin}(9,1)\simeq$ “$\mathrm{SL}(2;\mathbb{O})$” (因为八元数 $\mathbb{O}$ 不结合, 但是其具有正确的类比).

(需要补充有关条目)

•	$\mathrm{Spin}(2,2)\simeq \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})\times \mathrm{SL}(2;\mathbb{R})$.

•	$\mathrm{Spin}(3,2)\simeq \mathrm{Sp}(4;\mathbb{R})$.

•	$\mathrm{Spin}(4,2)\simeq \mathrm{SU}(2,2)$.

•	$\mathrm{Spin}(3,3)\simeq \mathrm{SL}(4;\mathbb{R})$.

4相关概念

•	自旋
•	超对称
•	旋量
•	旋量流形
•	旋量丛

术语翻译

旋量群 • 英文 spin group • 德文 Spin-Gruppe (f) • 法文 groupe spinoriel (m)