特殊线性群

约定. 在本文中,

• 所有环均指交换环.

环 $A$ 上特殊线性群由所有同阶行列式为 $1$ 的方阵组成, 它是一般线性群的正规子群, 也是重要的一类 Lie 群.

特殊线性群一般记作 $\mathrm{SL}(n,A)$ 或 ${\mathrm{SL}}_n(A)$.

1定义

定义 1.1. 对环 $A$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, 特殊线性群 $\mathrm{SL}(n,A)$ 是所有行列式为 $1$ 的 $A$-系数 $n$ 阶方阵在矩阵乘法下组成的群.

以上定义可以推广到在交换环 $R$ 上有限生成、投射的非交换代数 $A$ (例如四元数 $\mathbb{H}$) 上: 由于 $A$ 在 $R$ 上局部自由, 可以将系数为 $A$ 的矩阵在 $R$ 的局部上视为系数为 $R$ 的矩阵, 并计算其行列式. 可以证明行列式不依赖于 $A$ 在 $R$ 上的基的选取.

定义 1.2 (推广). 对上述 $A$, 特殊线性群 $\mathrm{SL}(n,A)$ 为行列式为 $1$ 的 $A$-系数 $n$ 阶方阵在矩阵乘法下组成的群.

注 1.3. 上述定义中 $\mathrm{SL}(n,A)$ 与 $R$ 的选取有关. 不过 $A=\mathbb{H}$ 时, $R$ 只能取为 $\mathbb{R}$.

不过我们在下面的正文中仍然只对交换环讨论, 除非特殊说明.

2性质

基本性质

特殊线性群是一般线性群的正规子群.

命题 2.1. 对环 $A$, 有正合列$$0\mathrm{SL}(n,A)\mathrm{GL}(n,A)A^{\times }0.\det$$其中 $\det$ 表示行列式运算, $A^{\times }$ 表示 $A$ 的乘法群. 特别地, $\mathrm{SL}(n,A)$ 是群同态的核, 因此是正规子群.

以下列举了一些特殊线性群的群论性质.

命题 2.2 (元素个数). 对 $q$ 元域 ${\mathbb{F}}_q$, $\mathrm{SL}(n,{\mathbb{F}}_q)$ 元素个数为$$\frac{1}{q-1}(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1}).$$

Lie 群结构

当 $A$ 为 $\mathbb{R}$-代数时, 可以为特殊线性群赋予 Lie 群结构, 其中最重要的例子是 $A=\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ 以及 $\mathbb{H}$. 以下记 $\mathbb{k}=\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$.

命题 2.3. $\mathrm{SL}(n,\mathbb{k})$, 可视为 ${\mathbb{k}}^{n^2}$ 中方程的零点集. 这为 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{SL}(n,\mathbb{H})$ 赋予了光滑流形结构, 并为 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 赋予了复流形结构. 此时前二者是实 Lie 群, 后者是复 Lie 群.

作为 Lie 群, 它对应一个 Lie 代数.

命题 2.4 (Lie 代数). 特殊线性群 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{k})$ 的 Lie 代数是向量空间$$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{k})=\{X\in \mathrm{M}(n,\mathbb{k})\mid \mathrm{tr}X=0\},$$(对 $\mathbb{k}=\mathbb{H}$, 取迹是先转化为 $\mathbb{R}$ 系数, 再取迹) 配有 Lie 括号 $[X,Y]=XY-YX$.

以下列举了特殊线性群的一些拓扑性质.

命题 2.5 (紧性). $\mathrm{SL}(1,\mathbb{k})$ 紧, 但 $n\ge 1$ 时, $\mathrm{SL}(n,\mathbb{k})$ 不紧. 三者的极大紧子群为 特殊正交群 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ ($\mathbb{k}=\mathbb{R}$), 特殊酉群 $\mathrm{SU}(n)$ ($\mathbb{k}=\mathbb{C}$), 以及紧辛群 $\mathrm{Sp}(n)$ ($\mathbb{k}=\mathbb{H}$).

证明. 我们可以构造如下的离散序列: $$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}n& & & & \\ & 1/n& & & \\ & & 1& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1\end{array}\right).$$$\square$(...)

命题 2.6 (连通性). $\mathrm{SL}(n,\mathbb{k})$ 都是连通的.

命题 2.7 (基本群). $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$; 而 $n\ge 3$ 时, $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的基本群是 $\mathbb{Z}/2$. $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{H})$ 是单连通的.

特殊线性群是单 Lie 群.

命题 2.8 (单性). $\mathrm{SL}(n,\mathbb{k})$ 是单 Lie 群, $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 对应 $A$ 型 Dynkin 图, 它的 Lie 代数也是相同类型的单 Lie 代数.

群概形结构

可以将特殊线性群视为群概形, 精确地说:

命题 2.9. 对概形 $S$, 函子$${\mathsf{Sch}}_S^{\text{op}}\to \mathsf{Grp},X\mapsto \mathrm{SL}(n,\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X))$$是 $S$ 上群概形, 称为特殊线性群, 记作 ${\mathrm{SL}}_{n,S}$.

此群概形也有单性.

命题 2.10 (单性). ${\mathrm{SL}}_{n,S}$ 是 $S$ 上的单群概形, 对应 $A$ 型 Dynkin 图.

注 2.11. 此定义也可以推广至定义 1.2 中所述的非交换环 $A$: 沿用其中记号, 则函子$${\mathsf{Alg}}_R\to \mathsf{Grp},R^{\prime }\mapsto \mathrm{SL}(n,R^{\prime }{\otimes }_{R}A)$$是群概形.

表示论

(...)

3例子

这一段移到射影特殊线性群

$$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in \mathbb{C}\wedge ad-bc=1\right\}$$(1)是单位行列式的二阶矩阵, 和 Riemann 球面上的共形变换 Möbius 变换$$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},ad-bc\in U(1)$$(2)有着一个同态关系, 商去等价关系 $A\sim cA$ ($A\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})$, $c\in U(1)$) 后得到的是射影特殊线性群 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{C})\cong \mathrm{SL}(2;\mathbb{C})/U(1))$.

类似的有 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{R})\cong \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/(\mathbb{Z}/2)$.

4相关概念

•	半单 Lie 群
•	约化群

术语翻译

特殊线性群 • 英文 special linear group • 德文 spezielle lineare Gruppe • 法文 groupe spécial linéaire • 拉丁文 caterva specialis linearis • 古希腊文 εἰδικὴ γραμμικὴ ὁμάς