分球佯谬

Banach–Tarski 定理, 又称分球怪论、分球佯谬, 指的是能将 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个球分为有限多块, 然后平移、旋转、重新组合, 得到两个与原球全等的球. 这并不是悖论, 因为分出的块是不可测集, 不能对其计算测度而导出矛盾.

1陈述

定理 1.1. 令 $D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的标准球. 则存在 $n\in \mathbb{N}$, 划分$$D=\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_i\bigsqcup \underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{B}_i,$$以及 ${\mathbb{R}}^3$ 的保向等距变换 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$, 使得如记 $A_i^{\prime }={\alpha }_i(A_i)$, $B_i^{\prime }={\beta }_i(B_i)$, 则$$D=\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_i^{\prime }=\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{B}_i^{\prime }.$$

2证明

证明主要使用特殊正交群 $\mathrm{SO}(3)$ 中有二元自由群 $F_2$ 作为子群, 以此来作划分. 需分为以下几步.

在 $\mathrm{SO}(3)$ 中找 $F_2$

划分球面

划分球体

3后续影响

4相关条目

•	选择公理
•	不可测集
•	Tarski 分圆问题
•	可均群
•	von Neumann 怪论

术语翻译

Banach–Tarski 定理 • 英文 Banach–Tarski theorem