句法范畴

句法范畴是范畴逻辑中的构造, 给理论赋予范畴, 提取理论的句法信息.

1定义

几种不同的理论都有句法范畴的构造.

一阶理论

定义 1.1 (弱句法范畴). $T=(L,\Phi )$ 是一阶理论. 其弱句法范畴, 记作 ${\mathrm{Syn}}_0(T)$, 定义如下:

•	对象为一阶语言 $L$ 中的公式.
•	设公式 $\phi$ 的自由变元为 $x_1,\dots ,x_n$, 简记为 $x$, 公式 $\psi$ 的自由变元为 $y_1,\dots ,y_m$, 简记为 $y$, 并适当改变名称, 使这两组变元无交. 则 $\phi$ 到 $\psi$ 的态射定义为以 $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m$ 为自由变元的公式 $f$, 满足$$T⊢\forall x(\phi (x)\to \exists !y(\psi (y)\wedge f(x,y)));$$其中两个这样的公式 $f,f^{\prime }$ 如满足$$T⊢\forall x\forall y((\phi (x)\wedge \psi (y))\to (f(x,y)\leftrightarrow f^{\prime }(x,y))),$$就视为同一个态射.
•	设 $f:\phi \to \psi$, $g:\psi \to \chi$ 是首尾相接的态射. 同样设三个公式 $\phi ,\psi ,\chi$ 的自由变元组无交, 分别为 $x,y,z$. 则复合态射 $g\circ f$ 定义为公式$$\exists y(f(x,y)\wedge g(y,z)),$$带自由变元 $x,z$. 不难验证它满足上一条中要求, 且映射复合有结合律.

注 1.2 (与语义的关系). 如给定 $T$ 的模型 $M$, 则可把 ${\mathrm{Syn}}_0(T)$ 的对象 $\phi (x_1,\dots ,x_n)$ 对应到集合$$\{(x_1,\dots ,x_n)\in M^n\mid \phi (x_1,\dots ,x_n)\},$$态射自然也对应于集合映射. 由此可以看出态射和复合为什么这样定义. 于是 $T$ 的模型给出 ${\mathrm{Syn}}_0(T)$ 到 $\mathsf{Set}$ 的函子. 下面将会看到, 这种函子只要是凝聚范畴态射, 就可以反过来给出模型.

注 1.3 (带类型情形). 对带类型的一阶理论, 定义 1.1 可以照搬, 给出带类型的一阶理论的句法范畴. 注 1.2 自然也一样适用.

定义 1.4 (句法范畴). $T=(L,\Phi )$ 是 (带类型的) 一阶理论. 其句法范畴, 记作 $\mathrm{Syn}(T)$, 指的是其弱句法范畴作为凝聚范畴 (命题 3.1) 的预意象化.

类型论

参见: 概括范畴; 范畴语义

2例子

3性质

命题 3.1. (带类型的) 一阶理论的弱句法范畴是凝聚范畴, 且是 Boole 的.

命题 3.2. Boole 凝聚范畴都等价于带类型的一阶理论的弱句法范畴.

命题 3.3. Boole 凝聚范畴 $\mathcal{C}$ 等价于不带类型的一阶理论的弱句法范畴, 当且仅当存在 $X\in \mathcal{C}$, 满足对任一 $Y\in \mathcal{C}$, 存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $Y$ 到 $X^n$ 有单射.

4相关概念

•	凝聚范畴
•	预意象
•	分类意象

术语翻译

句法范畴 • 英文 syntactic category • 德文 syntaktische Kategorie • 法文 catégorie syntactique • 拉丁文 categoria syntactica • 古希腊文 συντακτικὴ κατηγορία