凝聚范畴

凝聚范畴是子对象有有限并, 且被拉回保持的正则范畴.

1定义

定义 1.1. 称范畴 $\mathcal{C}$ 为凝聚范畴, 指的是:

1.	$\mathcal{C}$ 有有限极限.
2.	$\mathcal{C}$ 中任一态射 $f:X\to Y$ 都可分解为有效满射 $g:X\to Z$ 和单态射 $h:Z\to Y$.
3.	$\mathcal{C}$ 中有效满射被拉回保持.
4.	对任一 $X\in \mathcal{C}$, $X$ 的子对象偏序集 $\mathrm{Sub}(X)$ 是格, 换言之其子对象有有限并.
5.	$\mathcal{C}$ 中任一态射 $f:X\to Y$ 诱导的偏序集同态 $f^{-1}:\mathrm{Sub}(Y)\to \mathrm{Sub}(X)$ 是格同态.

如格 $\mathrm{Sub}(X)$ 都是 Boole 代数, 则称 $\mathcal{C}$ 为 Boole 凝聚范畴.

注 1.2. 不难发现以上第 2 条中的分解是唯一的. 所得 $Y$ 的子对象 $h:Z\to Y$ 记作 $\mathrm{im}(f)$.

定义 1.3 (态射). $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是凝聚范畴, $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子. 称 $F$ 为凝聚范畴态射, 指的是:

1.	$F$ 保持有限极限, 即它左正合.
2.	$F$ 保持有效满射.
3.	对任一 $X\in \mathcal{C}$, 偏序集同态 $F:\mathrm{Sub}(X)\to \mathrm{Sub}(F(X))$ 是格同态.

所有小凝聚范畴关于此种态射构成范畴, 称为凝聚范畴的范畴, 记作 $\mathsf{Coh}$.

2性质

命题 2.1. 设 $\mathcal{C}$ 是凝聚范畴, $X\in \mathcal{C}$. 则俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/X}$ 是凝聚范畴.

凝聚范畴中子对象偏序集的格结构可用来作 Grothendieck 拓扑:

定理 2.2. 设 $\mathcal{C}$ 是小凝聚范畴. 对 $X\in \mathcal{C}$ 以及态射的有限族 $\{f_i:U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 称之为凝聚覆盖, 指的是在格 $\mathrm{Sub}(X)$ 中 ${\bigvee }_{i\in I}\mathrm{im}(f_i)=X$. 则 $\mathcal{C}$ 关于凝聚覆盖构成凝聚景.

推论 2.3 (预意象化). 记号承上. $\mathcal{C}$ 上的有限集合层范畴 ${\mathsf{Sh}}_{\mathsf{Fin}}(\mathcal{C})$ 是预意象, 且 $\mathcal{C}\mapsto {\mathsf{Sh}}_{\mathsf{Fin}}(\mathcal{C})$ 是预意象范畴到凝聚范畴范畴的含入函子之左伴随.

以下定理是 Godel 完备性定理的推广, 证明参见主条目.

定理 2.4 (Deligne 完备性定理). 设 $\mathcal{C}$ 是小凝聚范畴, $1\in \mathcal{C}$ 是终对象, $U⫋1$ 是真子对象. 则存在凝聚范畴态射 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$, 满足 $F(U)=\varnothing$.

3相关概念

•	正则范畴
•	预意象
•	语型范畴
•	凝聚意象
•	内生逻辑

术语翻译

凝聚范畴 • 英文 coherent category • 德文 kohärente Kategorie • 法文 catégorie cohérente • 拉丁文 categoria cohaerens • 古希腊文 συνέκτικὴ κατηγορία