范畴

范畴是由以下两种成分组成的结构:

•	一些对象, 可视为范畴中的点.

•	一些箭头, 称为态射. 每个箭头从一个对象出发, 指向另一个对象.

在范畴中, 首尾相连的箭头可以复合而得到新的箭头, 正如集合间的映射可以复合而得到新的映射.

范畴常用来描述某一类数学对象及其间的映射全体. 例如, 集合范畴由所有集合和它们之间的映射组成, 也就是说, 该范畴的对象为所有的集合, 而态射为集合间的映射; 向量空间范畴由所有向量空间和它们之间的线性映射组成; 如此等等.

范畴是幺半群的胚化. 可以看出, 范畴与幺半群的定义十分相似, 只是在范畴中允许有多个对象.

研究范畴的学科称为范畴论. 范畴论在数学的几乎所有分支中都发挥了重要作用. 另一方面, 当代范畴论提出了范畴的若干推广, 其中最著名的包括 $\infty$ -范畴的概念, 及由此引出的高阶代数、高阶几何等学科. 这套全新的范畴论为当代数学的发展提供了巨大动力.

1定义

定义 1.1 (范畴). 范畴 $C$ 由下列信息组成:

•	一个类 $Ob (C)$ , 其元素称为 $C$ 的对象.
•	对任意 $x, y \in Ob (C)$ , 有一个集合 $C (x, y)$ , 其元素称为从 $x$ 到 $y$ 的态射.
•	对任意 $x \in Ob (C)$ , 有一个元素 $1_{x} \in C (x, x),$ 称为 $x$ 的恒同态射.
•	对任意 $x, y, z \in Ob (C)$ , 有一个映射 $\circ : C (x, y) \times C (y, z) (f, g) \to C (x, z), \mapsto g \circ f,$ 称为复合,

并满足以下两条公理:

•	(单位律) 对任意 $x, y \in Ob (C)$ , 及任意 $f \in C (x, y)$ , 有 $1_{y} \circ f = f = f \circ 1_{x} .$
•	(结合律) 对任意 $x, y, z, w \in Ob (C)$ , 及任意 $f \in C (x, y)$ , $g \in C (y, z)$ , $h \in C (z, w)$ , 有 $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f),$ 故可记之为 $h \circ g \circ f$ , 而不产生歧义.

我们常使用以下记号:

注 1.2. 某些作者并不要求定义 1.1 中的 $C (x, y)$ 是集合, 只要求它是类. 在他们的术语中, 定义 1.1 中的范畴称为局部小范畴. 我们不采用这种术语.

•

某一类数学对象的全体通常构成范畴, 例如:

∘	所有集合和它们之间的映射构成范畴 $Set$ , 称为集合范畴.

∘	所有拓扑空间和它们之间的连续映射构成范畴 $Top$ , 称为拓扑空间范畴.

∘	域 $k$ 上所有向量空间和它们之间的线性映射构成范畴称为向量空间范畴.

•	小范畴 $C$ 到范畴 $D$ 之间所有函子和它们之间的自然变换构成一个范畴 $Fun (C, D)$ , 称为函子范畴.

•	$n$ 维紧定向流形和它们之间的配边构成范畴 $Bord_{n + 1}$ , 称为配边范畴.

•	拓扑空间 $X$ 中, 所有点和它们之间的道路同伦类构成范畴 $Π_{1} (X)$ , 称为 $X$ 的基本群胚.

•	所有小范畴及其间的函子构成范畴的范畴 $Cat$ . 虽然它确实是范畴, 但这一范畴结构是不自然的, 因为函子相等、范畴同构的概念并不自然, 而自然同构、范畴等价的概念才是自然的. 因此, $Cat$ 应视为 $2$ -范畴; 详细讨论见范畴的范畴一文.

术语翻译

范畴 • 英文 category • 德文 Kategorie (f) • 法文 catégorie (f) • 拉丁文 categoria (f) • 古希腊文 κατηγορία (f)