序列

集合 $X$ 中的序列是其中一列由自然数标号的元素$$x_0,x_1,x_2,\dots ,$$其中每个 $x_n$ 都是 $X$ 的元素. 许多数学领域都会研究相应的序列, 相应的序列也会有特殊的名字, 例如数列即是在某种数集中的序列; 函数列即是在某种函数空间中的序列; 点列即是某个拓扑空间中的序列等等. 序列的性质有时能够反映相应结构的性质, 很多数学构造都会通过序列来完成.

除了自然数 $\mathbb{N}$ 以外, 指标集也可以取成某些更一般的集合, 相应概念称为网.

1定义

序列的严格定义如下:

定义 1.1 (序列). 集合 $X$ 中的序列是指映射$$x:\mathbb{N}⟶X,$$此时对于 $n\in \mathbb{N}$, 通常将其像 $x(n)$ 记为 $x_n$.

也有子列的概念.

定义 1.2 (子列). 设 $x$ 是集合 $X$ 中的序列. 则 $x$ 的子列, 也称子序列, 是指形如复合映射$$\mathbb{N}\stackrel{i}{⟶}\mathbb{N}\stackrel{x}{⟶}X$$的序列, 其中 $i:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 是保序的单射.

2性质

人们常常考察序列的以下性质:

•	收敛性: 如果序列落在某个拓扑空间空间中, 可以谈论它是否收敛, 收敛到的元素称为极限. 例如人们会谈论数列和函数列的各种不同的收敛性. 如果序列本身不收敛, 也可以谈论它子列的收敛性, 此时收敛到的元素称为极限点.
•	增长、衰减性: 如果序列在某个具有序结构的空间取值, 可以谈论它增长或衰减的速度, 并和一些基本的序列 (例如用多项式定义的序列) 进行比较.

人们也会通过空间中序列的性质来定义空间的性质, 例如

•	称一个拓扑空间是列紧的, 如果在它之中的每一条序列都有极限点.
•	称一个拓扑空间是列完备的, 如果在它之中的 Cauchy 列均收敛.

3相关概念

•	网
•	数列
•	函数列
•	点列
•	收敛
•	Cauchy 列

术语翻译

序列 • 英文 sequence • 德文 Folge (f) • 法文 suite (f) • 拉丁文 sequentia (f) • 古希腊文 ἀκολουθία (f)