完备空间

关于其它含义, 请参见 “完备”.

完备空间是一类拓扑空间, 其中一串互相离得越来越近的点列会趋向于该空间中的一点. 换言之, 该点列的极限在也落在空间中. 例如, 实数是完备的, 但有理数是不完备的, 因为一列有理数可能趋于一个无理数:

$3,3.1,3.14,3.141,\dots \to$ $\pi$.

精确地说, 完备性是指空间中的 Cauchy 列 (或 Cauchy 网) 均收敛.

1定义

完备度量空间

我们首先定义度量空间的完备性. 回忆 Cauchy 列的概念:

定义 1.1 (Cauchy 列). 设 $(X,d)$ 是度量空间. 称 $X$ 中的序列 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 为 Cauchy 列, 如果对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得对任意整数 $m,n>N$ 有$$d(x_n,x_m)<\epsilon .$$

由此可以定义度量空间的完备性.

定义 1.2 (完备度量空间). 称度量空间 $(X,d)$ 为完备度量空间, 如果 $X$ 中的所有 Cauchy 列都收敛.

换言之, 即对任意 Cauchy 列 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, 存在 $x\in X$, 满足对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得对任意 $n>N$ 有$$d(x_n,x)<\epsilon .$$

完备一致空间

(...)

2例子

(...)

3性质

(...)

4相关概念

•	完备化
•	Banach 空间
•	Hilbert 空间

术语翻译

完备 (形容词) • 英文 complete • 德文 vollständig • 法文 complet • 拉丁文 completus • 古希腊文 πλήρης

完备空间 • 英文 complete space • 德文 vollständiger Raum • 法文 espace complet • 拉丁文 spatium completum • 古希腊文 πλήρης χῶρος