形式导数

在分析学中, 我们可以通过计算导数来研究曲线 $y=f(x)$ 的局部情况. 如果 $f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=0$, 则我们知道 $f(x)$ 在 $\alpha$ 处有一 “高阶零点”, 即它在 $\alpha$ 点处的 Taylor 展开没有常数项和一次项. 如果 $f(x)$ 是多项式, 这就意味着 $f(x)$ 在 $\alpha$ 处有重根.

为了把上面的方法推广到一般多项式环 $R[X]$ 上去, 我们需要一个不依赖于极限概念定义的导数, 这就是形式导数.

1定义

定义 1.1. 在多项式环 $R[X]$ 上, 按如下规则可定义一个 $R$-线性映射: $$\begin{array}{rl}\partial :R[X]& \to R[X]\\ f(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k& \mapsto f^{\prime }(X)=\sum _{k=1}^{n}k{a}_k{X}^{k-1}.\end{array}$$它满足 Leibniz 法则 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. $f^{\prime }$ 称为 $f$ 的形式导数.

注 1.2. 如果 $R=\mathbb{R}$, 则 $f^{\prime }$ 所定义的函数就是 $f$ 定义的函数的导数.

2性质

参见: 可分扩张

命题 2.1. 域 $K$ 上非零多项式 $f(x)\in K[x]$ 在其分裂域中没有重根当且仅当它和它的形式导数互素.