Taylor 定理

在微积分中, Taylor 定理说明, 函数在一点附近能被它的 Taylor 多项式很好地逼近.

1定理和证明

对单变量函数

定理 1.1 (Taylor 定理, 单变量函数). 设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个函数, 并且在 $a\in \mathbb{R}$ 的一个邻域内具有 $n$ 阶导数. 则 $f(x)$ 能写成$$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+r_n(x),$$其中 $f^{(n)}$ 表示 $f$ 的 $n$ 阶导数, $r_n(x)$ 称为余项, 它可以用以下几种方式描述:

•	(Peano 余项) $$r_n(x)=o((x-a{)}^n)(x\to a),$$其中 $o$ 是小 $o$ 记号.

如果 $f$ 还在 $a\in \mathbb{R}$ 的一个邻域内有 $n+1$ 阶导数, 那么还有:

•	(积分余项) 如果 $f^{(n+1)}$ Riemann 可积, 那么$$r_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_a^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^{n}dt.$$
•	(Lagrange 余项) 对任意实数 $x$, 存在介于 $a$ 与 $x$ 之间的实数 $\xi$, 使得$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$
•	(Cauchy 余项) 对任意实数 $x$, 存在介于 $a$ 与 $x$ 之间的实数 $\xi$, 使得$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n(x-a).$$

证明. (...)

$\square$

对多变量函数

多变量函数的 Taylor 定理与单变量情形类似. 对多重指标 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$, 做出如下约定: $$|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n,\alpha !={\alpha }_1!\cdots {\alpha }_n!,$$对 $x=(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 有$$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n},\frac{{\partial }^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}=\frac{\partial f^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}.$$

定理 1.2 (Taylor 定理, 多变量函数). 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是函数, 在 $a\in {\mathbb{R}}^n$ 的一个邻域内 $m$ 阶连续可微, 则对邻域内的 $x$ 有$$f(x)=\sum _{|\alpha |\le m}\frac{1}{\alpha !}\frac{{\partial }^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}(x-a{)}^{\alpha }+r_m(x),$$余项 $r_m(x)$ 描述如下:

•	(Peano 余项) $$r_m(x)=o(|x-a{|}^m),x\to a.$$

如果 $f$ 还 $m+1$ 阶连续可微, 则

•	(积分余项) $$\begin{gathered} r_m(x)=\sum _{|\beta |=m+1}{r}_{\beta }(x)(x-a{)}^{\beta }, \\ {r}_{\beta }(x)=\frac{|\beta |}{\beta !}{\int }_0^1(1-t{)}^{|\beta |-1}\frac{{\partial }^{\beta }f}{\partial x^{\beta }}(a+t(x-a))\mathrm{d}t. \end{gathered}$$

•	(Lagrange 余项) $$\begin{gathered} r_m(x)=\sum _{|\beta |=m+1}{r}_{\beta }(x)(x-a{)}^{\beta }, \\ {r}_{\beta }(x)=\frac{1}{\beta !}\frac{{\partial }^{\beta }f}{\partial x^{\beta }}(a+\theta (x-a)),\theta \in (0,1). \end{gathered}$$

证明. (…)

$\square$

对单复变函数

全纯函数在一点的邻域内总能展开为收敛的 Taylor 级数.

定理 1.3 (Taylor 定理, 全纯函数). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数. 给定 $z_0\in U$ 及实数 $r>0$, 使得开圆盘 $B_r(z_0)\subset U$. 则对任意 $z\in B_r(z_0)$, 有$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^n.$$

证明. 按照 Cauchy 积分公式的证明, $f$ 在 $B_r(z_0)$ 内可以写成形如$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$$的收敛幂级数. 只需再证明 $a_n=f^{(n)}(z_0)/n!$. 对等式两边分别求 $n$ 阶导数, 得$$f^{(n)}(z)=\sum _{k=n}^{\infty }{k}^{\underline{n}}{a}_k(z-z_0{)}^{k-n},$$其中 $k^{\underline{n}}$ 是降阶乘, 再令 $z=z_0$ 即得到 $f^{(n)}(z_0)=n!a_n$. 这里可以对级数逐项求导, 因为求导后的幂级数仍具有同样的收敛半径, 在半径小于它的圆盘内一致收敛.

$\square$

2相关概念

•	Taylor 级数
•	Laurent 级数
•	解析函数

术语翻译

Taylor 定理 • 英文 Taylor’s theorem • 德文 Satz von Taylor • 法文 théorème de Taylor