指数函数

关于几何学中的概念, 请参见 “指数映射”.

指数函数 $\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是一个全纯函数, 它的两个最重要的性质是$$\begin{array}{rl}\exp (x+y)& =\exp (x)\exp (y),\\ {\exp }^{\prime }(x)& =\exp (x).\end{array}$$指数函数也常常被记为 ${\mathrm{e}}^x$, 其中 $\mathrm{e}$$={\mathrm{e}}^1$ 是指数函数在 $1$ 的取值.

1定义

通过幂级数

定义 1.1 (指数函数). 指数函数 $\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 定义为下面的幂级数: $$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n(x\in \mathbb{C}).$$

通过微分方程

定义 1.2 (指数函数). 指数函数 $\exp :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是以下常微分方程的初值问题的解: $$\{\begin{array}{l}{\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)(x\in \mathbb{R}),\\ \exp (0)=1.\end{array}$$

2性质

(...)

3相关概念

•	幂
•	对数函数
•	指数映射

术语翻译

指数函数 • 英文 exponential function • 德文 Exponentialfunktion • 法文 fonction exponentielle • 拉丁文 functio exponentialis • 古希腊文 ἐκθετικὴ συνάρτησις