幂级数

幂级数是一类函数项级数, 是指形如$$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$的级数. 在微积分学和复分析中, 常常将函数表示为幂级数的形式, 以研究其性质. 局部上能写成收敛的幂级数的函数称为解析函数.

1定义

定义 1.1. 设 $x_0\in \mathbb{R}$ (或 $\mathbb{C}$). 则以 $x_0$ 为中心的幂级数是指形如$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$$的函数项级数, 其中 $a_n\in \mathbb{R}$ (或 $\mathbb{C}$).

(还需加入多元情形.)

2例子

•	考虑幂级数$$f(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots .$$它在 $|x|<1$ 时收敛到 $1/(1-x)$, 而在 $|x|\ge 1$ 时发散.

•	对任何光滑函数 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 和 $x_0\in \mathbb{R}$, 都可以定义 $F$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 级数$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$在某些假设下, Taylor 级数会在某个区间内收敛到原来的函数 $F$.

3性质

收敛性

可微性

4相关概念

•	形式幂级数
•	Taylor 级数
•	Laurent 级数

术语翻译

幂级数 • 英文 power series • 德文 Potenzreihe (f) • 法文 série entière (f) • 日文 冪級数 (べききゅうすう) • 韩文 멱급수 (冪級數)