全纯函数

在复分析中, 全纯函数是指关于复变量的复值函数, 它在复数的意义下具有导数.

全纯函数一定是解析函数, 从而具有任意阶导数. 也就是说, 一阶导数的存在性可以推出任意阶导数的存在性. 这与实数的情况迥然不同.

1定义

定义 1.1 (复导数, 全纯函数). 设有映射 $f:U\to \mathbb{C}$, 其中 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集. 设 $z_0\in U$. 则 $f$ 在 $z_0$ 处的复导数 (如果存在) 定义为$$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$$如果 $f$ 在 $U$ 内每点都存在复导数, 就称 $f$ 为 $U$ 上的全纯函数.

2例子

•	所有多项式函数, 即形如$$f(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0$$的函数, 其中 $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{C}$, 都是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

•	函数 $f(z)=1/z$ 是开集 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上的全纯函数, 其复导数为 $f^{\prime }(z)=-1/z^2$. 它也是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.

•	指数函数 $\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是全纯函数. 通过指数函数, 可以定义各种三角函数、双曲三角函数等, 它们在各自的定义域上全纯.

3性质

Cauchy–Riemann 方程

将复平面的坐标写成 $z=x+\mathrm{i}y$, 并考虑开集 $U\subset \mathbb{C}$ 上的复值函数$$f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y),$$其中 $u,v$ 都是实值函数. 则 $f$ 是全纯函数, 当且仅当它满足 Cauchy–Riemann 方程$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{array}$$事实上, 这组方程是将 $f$ 存在复导数的条件翻译成实值函数的偏导数而得到的.

曲线积分

对开集 $U\subset \mathbb{C}$ 上的全纯函数 $f:U\to \mathbb{C}$, 及 $U$ 中的曲线 $\gamma :[a,b]\to U$, 常常考虑曲线积分$${\int }_{\gamma }f(z)dz.$$Cauchy 积分定理说明, 该积分仅依赖于 $\gamma$ 的同伦类. 进一步地, 若 $\gamma$ 是闭曲线, 则上述积分可以通过 Cauchy 积分公式、留数定理等计算.

解析性

全纯函数一定是解析函数, 从而具有任意阶复导数, 并且其各阶导数也都是全纯函数.

4相关概念

术语翻译

全纯函数 • 英文 holomorphic function • 德文 holomorphe Funktion (f) • 法文 fonction holomorphe (f) • 拉丁文 functio holomorpha (f) • 古希腊文 ὁλομορφὴ συνάρτησις (f)