无穷

无穷在不同的数学分支中具有不同的的含义, 它可以表示一种趋势或一个具体的数或点, 大致上表示 “没有尽头” 之意. 无穷一般使用符号 “$\infty$” 表示.

1集合论中的无穷

在集合论中, 无限集即是那些势不为自然数的集合, 即不有限的集合. 例如自然数 $\mathbb{N}$ 即是无限集. 不同的无限集也有大小之分, 对无限集 $X$, 它的幂集 $2^X$ 也是无限集, 但 $X$ 的势小于 $2^X$ 的势.

由此也衍生出其它学科中有关无穷的术语, 例如 “无穷维线性空间” 表示基是无限集的线性空间, “无穷维流形” 表示局部上是无穷维线性空间的拓扑空间.

2几何学中的无穷

在古典的射影几何学中, 为避免平行线不相交这一特殊情况, 人们约定平行线交于无穷远并引入无穷远点这一概念, 并添加无穷远点使平面成为射影平面.

在现代的代数几何中, 作为这一概念的推广, 对一个仿射代数簇 $X$, 将它开浸入至某个射影代数簇 $\bar{X}$ 中, $\bar{X}-X$ 中的点即被称为 $X$ 的无穷远点, 例如仿射直线 ${\mathbb{A}}^1$ 添加无穷远点 $\infty$ 后即成为射影直线 ${\mathbb{P}}^1$.

在函数域类比中, 一个代数数域的所有赋值被视为一条射影代数曲线, 此时那些 Archimedes 赋值被类比至无穷远点. 例如对有理数域 $\mathbb{Q}$, 由 (通常意义下的) 绝对值 $|\cdot |:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ 诱导的赋值即是无穷远点.

3拓扑学中的无穷

作为上一例的类比, 可以定义拓扑空间的一点紧化, 即对拓扑空间 $X$, 对添加一个点的集合 $X\cup \ast$ 赋予一个自然的拓扑, 使得它成为紧空间 $\bar{X}$. 此时添加的这个点被称为无穷远点. 例如, 说 $X$ 上的一个函数 $f$ 在无穷远处消失, 即是说可以 (唯一地) 延拓 $f$ 至 $\bar{X}$, 使得 $f(\infty )=0$.

4分析学中的无穷

分析学中的无穷多代表一种趋势, 表示不能被控制住, 例如说一列数 $x_1,x_2,\dots$ 趋于无穷大, 即是说对任意正数 $M$, 存在正整数 $N$ 使 $n>N$ 时 $|x_n|>M$ 成立, 同时有正无穷和负无穷的概念, 即数列会最终大于或小于任何数. 类似地有无穷小的概念, 即一个绝对值最终会小于任何正数的数列. 无穷大之间和无穷小之间可以进行比较, 因为数列趋于无穷的速度可能会不同.

在非标准分析中, 无穷大和无穷小成为具体的数, 在实数域中添加无穷大和无穷小成为超实数域, 原有分析中的 “趋于无穷” 的语言被替代为对无穷数进行的操作.

5记号中的无穷

在一些记号会出现无穷的概念, 但与 “无穷” 本身的含义不太相关. 例如 “$\infty$-范畴” 表示可能具有每一阶同伦结构的范畴. 光滑函数空间被记为 $C^{\infty }$, 因为它具有所有的偏导数.

术语翻译

无穷 • 英文 infinity • 德文 Unendlichkeit (f) • 法文 infinité (f) • 拉丁文 infinitas (f)